Descreva geometricamente o espaço gerado pelos vetores
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
:
A pergunta é: descrever geometricamente o espaço gerado por esses vetores, isto é, o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa “espaço gerado”. O espaço gerado por vetores
e
é o conjunto de todas as combinações lineares deles. Em símbolos:
Aqui
e
são números reais (escalars) que variam livremente; cada par
dá uma combinação linear diferente. Geometricamente, em
esse conjunto pode ser
- a reta que passa pela origem (se os vetores são múltiplos um do outro),
- ou todo o plano
(se são linearmente independentes).
Passo 3
Verificar se os vetores são múltiplos um do outro. Calcular
vezes o primeiro vetor:
Como
é exatamente
vezes
, os vetores são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro). Isso significa que eles são linearmente dependentes e apontam na mesma direção (ou direções opostas, dependendo do escalar).
Passo 4
Consequence matemática: qualquer combinação linear de
e
pode ser escrita como múltiplo de
. De fato, para
,
Logo todo vetor do espaço gerado é da forma
para algum
.
Passo 5
Escrever a descrição paramétrica e cartesiana. Em forma paramétrica:
Em equação cartesiana (relacionando
e
) os pontos
desse conjunto satisfazem
Passo 6
Interpretação geométrica e dimensão. Geometricamente é a reta que passa pela origem com inclinação
(slope
). É um subespaço linear de
de dimensão
.
Passo 7
Dica rápida para a prova: em
, se um vetor é múltiplo do outro a span é uma reta pela origem; se não são múltiplos, a span é todo
. Uma verificação alternativa é o determinante da matriz cujas colunas são os vetores: se o determinante for zero, são dependentes. Aqui
confirmando dependência linear.]
Resposta
A reta através da origem com direção
; isto é,
, equivalente à curva cartesiana
.