Descreva geometricamente o espaço gerado pelos vetores
(1,2) \quad \text { e } \quad(2,4) .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
  • (1,2)
  • (2,4)
A pergunta é: descrever geometricamente o espaço gerado por esses vetores, isto é, o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa “espaço gerado”. O espaço gerado por vetores v_1 e v_2 é o conjunto de todas as combinações lineares deles. Em símbolos:
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}=\{a v_1 + b v_2 \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Aqui a e b são números reais (escalars) que variam livremente; cada par (a,b) dá uma combinação linear diferente. Geometricamente, em \mathbb{R}^2 esse conjunto pode ser
  • a reta que passa pela origem (se os vetores são múltiplos um do outro),
  • ou todo o plano \mathbb{R}^2 (se são linearmente independentes).

Passo 3

Verificar se os vetores são múltiplos um do outro. Calcular 2 vezes o primeiro vetor:
2\cdot(1,2)=(2,4).
Como (2,4) é exatamente 2 vezes (1,2), os vetores são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro). Isso significa que eles são linearmente dependentes e apontam na mesma direção (ou direções opostas, dependendo do escalar).

Passo 4

Consequence matemática: qualquer combinação linear de (1,2) e (2,4) pode ser escrita como múltiplo de (1,2). De fato, para a,b\in\mathbb{R},
a(1,2)+b(2,4)=a(1,2)+b\bigl(2(1,2)\bigr)=(a+2b)(1,2).
Logo todo vetor do espaço gerado é da forma t(1,2) para algum t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Escrever a descrição paramétrica e cartesiana. Em forma paramétrica:
\mathrm{span}\{(1,2),(2,4)\}=\{t(1,2)\mid t\in\mathbb{R}\}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Em equação cartesiana (relacionando x e y) os pontos (x,y) desse conjunto satisfazem
y=2x.

Passo 6

Interpretação geométrica e dimensão. Geometricamente é a reta que passa pela origem com inclinação 2 (slope 2). É um subespaço linear de \mathbb{R}^2 de dimensão 1.

Passo 7

Dica rápida para a prova: em \mathbb{R}^2, se um vetor é múltiplo do outro a span é uma reta pela origem; se não são múltiplos, a span é todo \mathbb{R}^2. Uma verificação alternativa é o determinante da matriz cujas colunas são os vetores: se o determinante for zero, são dependentes. Aqui
\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=0,
confirmando dependência linear.]

Resposta

A reta através da origem com direção (1,2); isto é, \{t(1,2)\mid t\in\mathbb{R}\}, equivalente à curva cartesiana y=2x.

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