Verifique se o vetor (2,1) é combinação linear dos vetores (1,0) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (2,1) é combinação linear dos vetores (1,0) e (0,1).
Informações dadas:
  • Vetor alvo: (2,1).
  • Vetores candidatos a gerar o alvo: (1,0) e (0,1).
Pergunta a responder:
  • Existem escalares a e b tais que a(1,0)+b(0,1)=(2,1)?

Passo 2

O que significa “ser combinação linear”: dizer que um vetor v é combinação linear de vetores u e w significa que existem números (escalares) a e b tais que
a\,u + b\,w = v.
Aqui a e b são incógnitas (números reais, normalmente) que precisamos encontrar. Se conseguirmos encontrar a e b, então mostramos explicitamente a combinação.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: queremos a e b tais que
a(1,0) + b(0,1) = (2,1).
Vamos escrever o lado esquerdo somando coordenada a coordenada:
a(1,0) + b(0,1) = (a\cdot 1,\, a\cdot 0) + (b\cdot 0,\, b\cdot 1) = (a,\,0) + (0,\,b) = (a,\,b).

Passo 4

Igualando coordenadas do vetor (a,b) com o vetor alvo (2,1) obtemos o sistema simples:
a = 2, \qquad b = 1.
Portanto os escalares procurados existem e são a=2 e b=1.

Passo 5

Verificação final calculando a combinação encontrada:
2(1,0) + 1(0,1) = (2,0) + (0,1) = (2,1),
que é exatamente o vetor alvo. Como comentário didático: esse procedimento (comparar coordenadas) vale sempre em \mathbb{R}^2. Exemplo rápido: (3,-5)=3(1,0)+(-5)(0,1).

Resposta

Sim, (2,1)=2(1,0)+1(0,1).

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