Descreva o gráfico da equação.
\mathbf{r}=2 \operatorname{sen} 3 t \mathbf{i}-2 \cos 3 t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial (em coordenadas cartesianas)
\mathbf{r}(t)=2\sin(3t)\,\mathbf{i}-2\cos(3t)\,\mathbf{j},
para t\in\mathbb{R} (o enunciado não restringe t). A pergunta é: descrever o gráfico dessa equação, ou seja, identificar a curva no plano xy, seu centro e raio, a orientação (sentido de percurso quando t aumenta), o período e velocidade/velocidade angular, e qualquer outra propriedade geométrica relevante. As informações relevantes dadas são as componentes da função vetorial: as coordenadas x(t) e y(t) em função de t.

Passo 2

Escrever as componentes paramétricas explicitamente. Das componentes de \mathbf{r}(t) temos
x(t)=2\sin(3t), \qquad y(t)=-2\cos(3t).
Aqui x(t) é a coordenada x e y(t) é a coordenada y do ponto descrito pela curva quando o parâmetro vale t.

Passo 3

Eliminar o parâmetro para identificar a curva. Calculo x(t)^2+y(t)^2:
x(t)^2+y(t)^2 = \bigl(2\sin(3t)\bigr)^2 + \bigl(-2\cos(3t)\bigr)^2 =4\sin^2(3t)+4\cos^2(3t).
Usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 segue
x(t)^2+y(t)^2=4.
Portanto todos os pontos (x,y) satisfazem a equação
x^2+y^2=4,
que é a equação de um círculo de raio 2 centrado na origem (0,0).
Explicação didática: eliminar o parâmetro consiste em usar as duas equações paramétricas e combinar para obter uma relação entre x e y sem t. Aqui dá uma soma de quadrados, que resulta na equação padrão de círculo.

Passo 4

Determinar o ponto inicial (quando t=0) e verificar orientação qualitativa. Em t=0 temos
x(0)=2\sin(0)=0,\qquad y(0)=-2\cos(0)=-2,
logo a curva passa pelo ponto (0,-2) — o ponto inferior do círculo. Para saber o sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta, calculamos a velocidade (derivada) \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\sin(3t)\bigr)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(-2\cos(3t)\bigr)\,\mathbf{j} =6\cos(3t)\,\mathbf{i}+6\sin(3t)\,\mathbf{j}.
Em t=0 isso vale \mathbf{r}'(0)=6\,\mathbf{i}+(0)\,\mathbf{j}=(6,0), apontando para +\!x. Portanto a trajetória, ao sair do ponto (0,-2) para t ligeiramente positivo, move-se para a direita. No círculo centrado na origem isso corresponde a se mover do ponto inferior em direção ao quadrante IV (onde x>0,y<0). Esse movimento é no sentido anti-horário (sentido anti-horário é o sentido positivo padrão quando o ângulo polar aumenta). Conclusão: a curva é percorrida no sentido anti-horário conforme t aumenta.
Didática extra: para verificar o sentido normalmente usamos uma representação padrão do círculo: \bigl(x,y\bigr)=(R\cos\theta,R\sin\theta); se \theta aumenta percorre-se o círculo anti-horariamente. Podemos reescrever a parametrização para ligar com esse formato (ver passo seguinte).

Passo 5

Reescrever em forma padrão por mudança de variável angular. Defina
\theta(t)=3t-\frac{\pi}{2}.
Usando identidades trigonométricas:
\cos\bigl(3t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin(3t),\qquad \sin\bigl(3t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\cos(3t).
Logo as componentes ficam
x(t)=2\cos\bigl(\theta(t)\bigr),\qquad y(t)=2\sin\bigl(\theta(t)\bigr),
o que é exatamente a parametrização padrão de um círculo de raio 2 centrado na origem com ângulo polar \theta. Como \theta'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(3t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=3>0, o ângulo cresce quando t cresce, confirmando que a curva é percorrida no sentido anti-horário. Esta forma também facilita entender velocidade angular e período.

Passo 6

Calcular período e velocidades (linear e angular). O argumento trigonométrico 3t tem período 2\pi em 3t, então o período em t é a solução de 3(t+T)=3t+2\pi, ou seja T=\dfrac{2\pi}{3}. Portanto a curva completa uma volta quando t aumenta de \dfrac{2\pi}{3}.
A velocidade linear (módulo de \mathbf{r}'(t)) é
\bigl\lVert\mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{\bigl(6\cos(3t)\bigr)^2+\bigl(6\sin(3t)\bigr)^2} =\sqrt{36\bigl(\cos^2(3t)+\sin^2(3t)\bigr)}=6.
Portanto a velocidade é constante e igual a 6 (unidades de comprimento por unidade de t) — trata-se de movimento circular uniforme.
A velocidade angular (razão de variação do ângulo polar) é \omega=\theta'(t)=3 radianos por unidade de t. Relação entre velocidades: v=\omega R confere v=3\cdot2=6, consistente.

Passo 7

Resumo geométrico e interpretação prática. Conclui-se que:
  • a curva é o círculo de raio 2 centrado na origem (0,0);
  • quando t=0 o ponto está em (0,-2) (ponto inferior);
  • à medida que t aumenta, a curva é percorrida no sentido anti-horário;
  • o movimento é uniforme com velocidade linear constante 6 e velocidade angular \omega=3;
  • o período da revolução é T=\dfrac{2\pi}{3}. Para t\in\mathbb{R} a curva é percorrida indefinidamente.

Resposta

Círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, começando em (0,-2) para t=0; movimento circular uniforme com velocidade linear \,6\,, velocidade angular \,3\,, e período \,T=\dfrac{2\pi}{3}.

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