(
ponto) Seja
primo e
um conjunto de
inteiros consecutivos. É possível encontrar
e
subconjuntos de
tais que
de forma que
Passo 1
O enunciado dá:
é primo e
é um conjunto de
inteiros consecutivos (isto é,
para algum inteiro
). Pede-se saber se existem
e
tais que
-
, -
, -
, , - e
.
As informações relevantes que temos do enunciado:
- O tamanho de
é , um número primo. - Os elementos de
são inteiros consecutivos (podem ser positivos, negativos ou conter zero). - Queremos uma bipartição não trivial de
cujos produtos das partes sejam iguais.
Passo 2
Observação básica que liga a igualdade pedida a uma condição sobre o produto total de
.
Se existem
e
com
, chame esse valor comum de
. Então o produto total dos elementos de
é
Portanto, uma condição necessária (e automática se a igualdade existe) é que
seja um quadrado perfeito inteiro, pois
.
Passo 3
Conteúdo importante sobre divisibilidade por
em
inteiros consecutivos.
Os
inteiros consecutivos
formam, quando reduzidos módulo
, um sistema completo de representantes dos resíduos
. Em particular, entre esses
números existe exatamente um múltiplo de
(o que é congruente a
módulo
). Vou chamar esse elemento de
; ou seja, existe exatamente um
tal que
.
Consequência imediata: o produto total
é divisível por
(porque um dos fatores é múltiplo de
). Em símbolos,
.
Passo 4
Ligação entre
ser quadrado e divisibilidade das partes por
.
Suponha, por absurdo, que exista a bipartição procurada e escrevamos
. Como vimos,
. Como
, segue que
, e, portanto,
(se um primo divide um quadrado, divide a base). Ou seja,
é divisível por
.
Mas
é também a produto de
e é igual ao produto de
. Logo ambos os produtos
e
são divisíveis por
. Em outras palavras,
divide o produto de cada uma das duas partes.
Passo 5
Por que isso gera contradição com a existência de exatamente um múltiplo de
em
.
Se
divide o produto de uma parte
, então algum elemento de
é múltiplo de
(porque
é primo: para um produto ser múltiplo de
é necessário que pelo menos um dos fatores seja múltiplo de
). Analogamente, se
divide o produto de
, então algum elemento de
é múltiplo de
.
Portanto, para que ambos os produtos sejam divisíveis por
, cada parte teria de conter um elemento múltiplo de
. Mas vimos no Passo 3 que existe exatamente um elemento de
múltiplo de
. Assim é impossível que as duas partes contenham (cada uma) um múltiplo de
. Isso é uma contradição.
Passo 6
Conclusão final do argumento.
A contradição mostra que não podem existir
e
não vazios e disjuntos que cubram
e tenham produtos iguais. A razão essencial é simples e bonita: o produto total é divisível por
(há exatamente um múltiplo de
no bloco de
inteiros), então a raiz quadrada desse produto, se existisse, seria divisível por
; isso forçaria ambas as partes a conterem um múltiplo de
, o que é impossível porque só há um.
Resposta
Não — para nenhum primo
é possível encontrar tais
e
.