( \mathbf{1 , 0} ponto) Seja p primo e M um conjunto de p inteiros consecutivos. É possível encontrar M_{1} e M_{2} subconjuntos de M tais que M_{1} \cup M_{2}=M, M_{1} \cap M_{2}=\varnothing, M_{i} \neq \varnothing de forma que
\prod_{i \in M_{1}} i=\prod_{j \in M_{2}} j ?

Passo 1

O enunciado dá: p é primo e M é um conjunto de p inteiros consecutivos (isto é, M=\{a,a+1,\dots,a+p-1\} para algum inteiro a). Pede-se saber se existem M_{1} e M_{2} tais que
  • M_{1}\cup M_{2}=M,
  • M_{1}\cap M_{2}=\varnothing,
  • M_{1}\neq\varnothing, M_{2}\neq\varnothing,
  • e \displaystyle\prod_{i\in M_{1}} i=\prod_{j\in M_{2}} j.
As informações relevantes que temos do enunciado:
  • O tamanho de M é p, um número primo.
  • Os elementos de M são p inteiros consecutivos (podem ser positivos, negativos ou conter zero).
  • Queremos uma bipartição não trivial de M cujos produtos das partes sejam iguais.

Passo 2

Observação básica que liga a igualdade pedida a uma condição sobre o produto total de M.
Se existem M_{1} e M_{2} com \prod_{i\in M_{1}} i=\prod_{j\in M_{2}} j, chame esse valor comum de R. Então o produto total dos elementos de M é
P:=\prod_{x\in M} x=\left(\prod_{i\in M_{1}} i\right)\left(\prod_{j\in M_{2}} j\right)=R\cdot R=R^{2}.
Portanto, uma condição necessária (e automática se a igualdade existe) é que P seja um quadrado perfeito inteiro, pois P=R^{2}.

Passo 3

Conteúdo importante sobre divisibilidade por p em p inteiros consecutivos.
Os p inteiros consecutivos a,a+1,\dots,a+p-1 formam, quando reduzidos módulo p, um sistema completo de representantes dos resíduos 0,1,\dots,p-1. Em particular, entre esses p números existe exatamente um múltiplo de p (o que é congruente a 0 módulo p). Vou chamar esse elemento de m; ou seja, existe exatamente um m\in M tal que p\mid m.
Consequência imediata: o produto total
P=\prod_{x\in M} x
é divisível por p (porque um dos fatores é múltiplo de p). Em símbolos, p\mid P.

Passo 4

Ligação entre P ser quadrado e divisibilidade das partes por p.
Suponha, por absurdo, que exista a bipartição procurada e escrevamos R=\prod_{i\in M_{1}} i=\prod_{j\in M_{2}} j. Como vimos, P=R^{2}. Como p\mid P, segue que p\mid R^{2}, e, portanto, p\mid R (se um primo divide um quadrado, divide a base). Ou seja, R é divisível por p.
Mas R é também a produto de M_{1} e é igual ao produto de M_{2}. Logo ambos os produtos \prod_{i\in M_{1}} i e \prod_{j\in M_{2}} j são divisíveis por p. Em outras palavras, p divide o produto de cada uma das duas partes.

Passo 5

Por que isso gera contradição com a existência de exatamente um múltiplo de p em M.
Se p divide o produto de uma parte M_{1}, então algum elemento de M_{1} é múltiplo de p (porque p é primo: para um produto ser múltiplo de p é necessário que pelo menos um dos fatores seja múltiplo de p). Analogamente, se p divide o produto de M_{2}, então algum elemento de M_{2} é múltiplo de p.
Portanto, para que ambos os produtos sejam divisíveis por p, cada parte teria de conter um elemento múltiplo de p. Mas vimos no Passo 3 que existe exatamente um elemento de M múltiplo de p. Assim é impossível que as duas partes contenham (cada uma) um múltiplo de p. Isso é uma contradição.

Passo 6

Conclusão final do argumento.
A contradição mostra que não podem existir M_{1} e M_{2} não vazios e disjuntos que cubram M e tenham produtos iguais. A razão essencial é simples e bonita: o produto total é divisível por p (há exatamente um múltiplo de p no bloco de p inteiros), então a raiz quadrada desse produto, se existisse, seria divisível por p; isso forçaria ambas as partes a conterem um múltiplo de p, o que é impossível porque só há um.

Resposta

Não — para nenhum primo p é possível encontrar tais M_{1} e M_{2}.

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