1. Descreva matemáticamente o experimento e que permite obter a densidade n_{e} de elétrons num material em função da corrente i no material. (efeito Hall)

Passo 1

Estamos descrevendo o experimento do efeito Hall para determinar a densidade de elétrons \,n_e, num condutor. Precisamos dos seguintes elementos: uma amostra de espessura t e largura w, uma corrente I que percorre a amostra no sentido x, um campo magnético externo \mathbf{B} aplicado no sentido z e a medida da tensão Hall V_H no sentido y.

Passo 2

Quando os elétrons se movem com velocidade de arraste v_d sob corrente I, eles sofrem a força de Lorentz lateral que é balanceada pela força elétrica do campo Hall \mathbf{E}_H. Da condição de equilíbrio lateral:
q\,\mathbf{E}_H + q\,\mathbf{v}_d \times \mathbf{B} = 0
Como \mathbf{v}_d\perp\mathbf{B}, isso dá
E_H \;=\; v_d\,B\,.

Passo 3

A velocidade de arraste v_d relaciona-se à densidade de corrente J e à densidade de portadores:
J = n_e\,q\,v_d
e como J=I/(w\,t) e o elétron tem carga q=-e (tomamos |q|=e), então
v_d = \frac{I}{n_e\,e\,w\,t}\,.

Passo 4

A tensão Hall medida V_H é o campo Hall vezes a largura:
V_H = E_H\,w \;=\; v_d\,B\,w\,.
Substituindo v_d do passo anterior:
V_H = \frac{I}{n_e\,e\,w\,t}\;B\,w \quad\Longrightarrow\quad V_H = \frac{I\,B}{n_e\,e\,t}\,.

Passo 5

Isolando a densidade de elétrons n_e em função de I, B, t e V_H, obtemos
n_e \;=\;\frac{I\,B}{e\,t\,V_H}\,.

Resposta

n_e = \frac{I\,B}{e\,t\,V_H}\,,
onde I é a corrente no material, B o módulo do campo magnético aplicado, t a espessura da amostra e V_H a tensão Hall medida.

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