Descreva a operação de convolução discreta e sua importância na análise de sistemas LTI. Calcule a convolução entre os sinais:
x[n]=1,2,3 e [n]=0.5,0.5

Passo 1

O enunciado pede para descrever a operação de convolução discreta, explicar sua importância na análise de sistemas LTI e depois calcular a convolução entre os sinais
,x[n]=1,2,3 e ,h[n]=0,5,0,5. O conteúdo é Processamento de Sinais Discretos, especificamente a soma de convolução em sistemas Lineares e Invariantes no Tempo. Vamos precisar da definição do somatório de convolução e das propriedades de suporte dos sinais.

Passo 2

A convolução discreta entre dois sinais x[n] e h[n] é dada por
y[n] = (x * h)[n] ;=; sumk=-infty^infty x[k],h[n-k]
Em sistemas LTI isso representa a resposta y[n] ao aplicar x[n] à rede cujo impulso unitário é h[n]. É fundamental porque reúne linearidade (superposição de respostas) e invariância no tempo (os impulsos são apenas deslocados).

Passo 3

Aqui x[n] é não nulo em n=0,1,2 e h[n] em n=0,1. Logo, a saída y[n] só pode ser não nula para
n = 0,1,2,3,
e a soma de convolução reduz-se a
y[n] ;=; sumk=0^2 x[k],h[n-k],
sabendo que h[m]=0 para mnotin0,1.

Passo 4

Vamos calcular ponto a ponto:
n=0:
y[0] = x[0],h[0] = 1cdot0,5 = 0,5
n=1:
y[1] = x[0],h[1] + x[1],h[0] = 1cdot0,5 + 2cdot0,5 = 0,5 + 1,0 = 1,5
n=2:
y[2] = x[1],h[1] + x[2],h[0] = 2cdot0,5 + 3cdot0,5 = 1,0 + 1,5 = 2,5
n=3:
y[3] = x[2],h[1] = 3cdot0,5 = 1,5

Resposta

y[n] = (x*h)[n] = 0,5,;1,5,;2,5,;1,5

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