Defina um sistema linear invariante no tempo (LTI) e explique por que sistemas LTI são importantes no processamento digital de sinais. Dê um exemplo de um sistema LTI simples.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um sistema linear invariante no tempo (LTI), explicarmos por que esse tipo de sistema é tão útil em processamento digital de sinais e apresentarmos um exemplo simples. Para isso, vamos usar os conceitos de linearidade (princípio da superposição) e de invariança temporal (descrição por deslocamento no tempo), além de lembrar que sistemas LTI podem ser analisados por resposta ao impulso e transformadas (Fourier/Z).

Passo 2

Definição de linearidade. Um sistema S é linear se, para quaisquer sinais de entrada x1[n] e x2[n] e quaisquer constantes escalares a e b, valem simultaneamente as propriedades de aditividade e homogeneidade:
Sa,x1[n] + b,x2[n] = a,Sx1[n] + b,Sx2[n]

Passo 3

Definição de invariança no tempo. Um sistema S é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca exatamente o mesmo deslocamento na saída, sem alterar a forma do sinal. Ou seja, se
y[n] = Sx[n],
então para qualquer inteiro n0 deve ocorrer
Sx[n - n0] = y[n - n0]

Passo 4

Conclusão da definição. Um sistema é LTI quando satisfaz simultaneamente linearidade e invariança no tempo. Esses sistemas são totalmente descritos por sua resposta ao impulso h[n], pois qualquer entrada x[n] produz saída
y[n] = (h * x)[n] = sumk=-infty^infty h[k],x[n-k]

Passo 5

Importância em DSP. Sistemas LTI são fundamentais porque permitem
1. Aplicar o princípio da superposição para decompor sinais complexos em somas de componentes mais simples.
2. Descrever tudo por convolução com a resposta ao impulso, o que leva a implementações eficientes.
3. Usar transformadas de Fourier (ou Z) para análise em frequência, transformando a convolução no domínio do tempo em multiplicação no domínio da frequência.
Essas propriedades facilitam o projeto de filtros, equalizadores e o entendimento geral do comportamento de sinais em sistemas digitais.

Passo 6

Exemplo simples. Considere o sistema que calcula a média de dois pontos consecutivos da entrada:
y[n] = tfrac12,x[n] + tfrac12,x[n-1]
Aqui a resposta ao impulso é
h[0]=tfrac12, h[1]=tfrac12,
e o sistema satisfaz linearidade e invariança no tempo, logo é LTI.

Resposta

Um sistema LTI é aquele que satisfaz:
bul<=t Linearidade: Sa,x1 + b,x2 = a,Sx1 + b,Sx2.
bul<=t Invariança no tempo: Sx[n-n0] = y[n-n0].
Sistemas LTI são importantes em DSP porque permitem análise por resposta ao impulso e transformadas (convolução \leftrightarrow multiplicação), facilitando projetos de filtros e interpretação de sinais.
Exemplo simples de sistema LTI:
y[n] = tfrac12,x[n] + tfrac12,x[n-1]

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