Defina um sistema linear invariante no tempo (LTI) e explique por que sistemas LTI são importantes no processamento digital de sinais. Dê um exemplo de um sistema LTI simples.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é um sistema linear invariante no tempo (LTI), explicarmos por que esse tipo de sistema é tão útil em processamento digital de sinais e apresentarmos um exemplo simples. Para isso, vamos usar os conceitos de linearidade (princípio da superposição) e de invariança temporal (descrição por deslocamento no tempo), além de lembrar que sistemas LTI podem ser analisados por resposta ao impulso e transformadas (Fourier/Z).
Passo 2
Definição de linearidade. Um sistema
é linear se, para quaisquer sinais de entrada
e
e quaisquer constantes escalares
e
, valem simultaneamente as propriedades de aditividade e homogeneidade:
Passo 3
Definição de invariança no tempo. Um sistema
é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca exatamente o mesmo deslocamento na saída, sem alterar a forma do sinal. Ou seja, se
então para qualquer inteiro
deve ocorrer
Passo 4
Conclusão da definição. Um sistema é LTI quando satisfaz simultaneamente linearidade e invariança no tempo. Esses sistemas são totalmente descritos por sua resposta ao impulso
, pois qualquer entrada
produz saída
Passo 5
Importância em DSP. Sistemas LTI são fundamentais porque permitem
. Aplicar o princípio da superposição para decompor sinais complexos em somas de componentes mais simples.
. Descrever tudo por convolução com a resposta ao impulso, o que leva a implementações eficientes.
. Usar transformadas de Fourier (ou Z) para análise em frequência, transformando a convolução no domínio do tempo em multiplicação no domínio da frequência.
Essas propriedades facilitam o projeto de filtros, equalizadores e o entendimento geral do comportamento de sinais em sistemas digitais.
Essas propriedades facilitam o projeto de filtros, equalizadores e o entendimento geral do comportamento de sinais em sistemas digitais.
Passo 6
Exemplo simples. Considere o sistema que calcula a média de dois pontos consecutivos da entrada:
Aqui a resposta ao impulso é
e o sistema satisfaz linearidade e invariança no tempo, logo é LTI.
Resposta
Um sistema LTI é aquele que satisfaz:
Linearidade:
.
Invariança no tempo:
.
Sistemas LTI são importantes em DSP porque permitem análise por resposta ao impulso e transformadas (convolução \leftrightarrow multiplicação), facilitando projetos de filtros e interpretação de sinais.
Exemplo simples de sistema LTI:
Sistemas LTI são importantes em DSP porque permitem análise por resposta ao impulso e transformadas (convolução \leftrightarrow multiplicação), facilitando projetos de filtros e interpretação de sinais.
Exemplo simples de sistema LTI: