Explique o que é a Transformada Z e sua relação com a Transformada de Fourier. Qual é a região de convergência (ROC) e por que ela é importante?

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é a Transformada Z, como ela se relaciona com a Transformada de Fourier em tempo discreto e qual é a Região de Convergência (ROC), além de dizer por que essa região é importante. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada Z, o conceito de convergência de séries infinitas em C e a Transformada Discreta de Fourier (DTFT).

Passo 2

A Transformada Z de uma sequência discreta x[n] é definida como
X(z) ;=; sumn=-infty^+infty x[n],z^-n,
onde z é uma variável complexa. Essa soma só faz sentido quando a série é absolutamente convergente, ou seja, quando
sumn=-infty^+infty l|x[n],z^-nr| ;<; infty
A condição de convergência determina um conjunto de valores de z, que chamamos de Região de Convergência (ROC).

Passo 3

A relação com a Transformada Discreta de Fourier surge quando escolhemos
z = e^jomega
Nesse caso
Xl(e^jomegar) =sumn=-infty^+infty x[n],e^-jomega n,
que é exatamente a DTFT de x[n]. Contudo, para que essa substituição seja válida, a ROC de X(z) deve incluir o círculo unitário zinC:|z|=1. Se o círculo unitário estiver dentro da ROC, a DTFT existe e é dada por X(e^jomega).

Passo 4

A Região de Convergência (ROC) de X(z) é o conjunto
ROC ;=;lzinC:sumn=-infty^infty!|x[n],z^-n|<inftyr
Na prática, para sequências causais de duração infinita, a ROC costuma ser um disco externo |z|>R; para sequências anti-causais, um disco interno |z|<R; e para sequências bilaterais, uma coroa R1<|z|<R2.

Passo 5

A importância da ROC é dupla:
  1. Ela garante que a série de X(z) converge e, portanto, que a transformada está bem definida.
  2. A localização da ROC no plano z indica propriedades do sinal x[n]:
    • Se a ROC inclui |z|=1, o sinal é absolutamente somável e a DTFT existe.
    • A forma da ROC (externa, interna ou coroa) está ligada à causalidade ou anti-causalidade de x[n].
    • A análise de estabilidade de sistemas LTI discretos também depende de a ROC conter o polo de maior módulo e, em particular, incluir o círculo unitário para estabilidade BIBO.

Resposta

A Transformada Z é a expressão
X(z)=sumn=-infty^inftyx[n],z^-n
definida em zinC, e se reduz à Transformada Discreta de Fourier se avaliarmos z=e^jomega desde que o círculo unitário pertença à ROC. A Região de Convergência é o conjunto de z onde a série converge, e é crucial porque assegura a existência da transformada, determina causalidade/anti-causalidade, e define a estabilidade do sistema.

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