5-6 Descreva em palavras a superficie cuja equação é dada.
5. \theta=\pi / 4
6. r=5

Passo 1

O enunciado pede: “Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada.” Foram dadas duas equações separadas:
  • (5) \theta=\pi/4.
  • (6) r=5.
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis presentes são \theta e r, que aparecem nas coordenadas cilíndricas/polares usuais (isto é, representam ângulo azimutal no plano xy e distância radial ao eixo z, respectivamente).
  • Não há restrições adicionais sobre z ou sobre os outros parâmetros além do que está escrito nas equações.

Passo 2

Primeira ideia útil (conversão para coordenadas cartesianas).
  • Nas coordenadas cilíndricas/polares existe a relação entre (r,\theta,z) e as coordenadas cartesianas (x,y,z):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Explanação didática: aqui r é a distância do ponto ao eixo z no plano xy (logo r\ge 0), \theta é o ângulo que o raio-vetor projetado no plano xy faz com o eixo x (medido no sentido anti-horário), e z é a altura usual. Essas fórmulas permitem transformar qualquer equação em coordenadas cilíndricas para uma equação em x e y, que costuma ser mais fácil de visualizar geometricamente.

Passo 3

Análise da equação (5): \theta=\pi/4.
  • Interpretação direta: manter \theta fixo significa manter a direção (ângulo) do raio que aponta no plano xy fixa. Portanto todos os pontos têm a mesma linha de direção no plano xy, mas podem ter qualquer distância r\ge 0 e qualquer altura z\in\mathbb{R}.
  • Transformando para cartesiano: usar \tan\theta = y/x (quando x\neq 0). Como \tan(\pi/4)=1, obtemos
\frac{y}{x}=1\quad\Rightarrow\quad y=x.
  • Consideração sobre o caso r=0: o ponto (0,0,z) (e.g. a origem no plano xy com qualquer z) tecnicamente tem \theta indefinido, mas é natural incluí-lo como pertencente ao feixe de direções; geometricamente a superfície é o plano vertical que contém o eixo z e faz 45^\circ com o eixo x.
  • Conclusão geométrica (descrita em palavras): a superfície é o plano vertical que passa pelo eixo z e tem equação cartesiana y=x. Em palavras leves: é um plano “em pé” cortando o eixo z, orientado a 45^\circ no chão xy.
Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • O ponto (1,1,0) tem \theta=\pi/4 e está na superfície.
  • O ponto (2,2,5) também está na superfície (mesma direção no plano xy, altura z=5).

Passo 4

Análise da equação (6): r=5.
  • Interpretação direta: manter r fixo significa ter todos os pontos cuja projeção no plano xy está a uma distância fixa 5 do eixo z. O ângulo \theta pode variar livremente entre 0 e 2\pi e z pode ser qualquer real.
  • Transformando para cartesiano: r=\sqrt{x^2+y^2}. Então r=5 vira
\sqrt{x^2+y^2}=5\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2=25.
  • Conclusão geométrica (descrita em palavras): a superfície é um cilindro circular reto de raio 5, com eixo ao longo do eixo z. Em palavras leves: é um cano infinito com raio 5 centrado no eixo vertical z.
Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • O ponto (5,0,0) está na superfície.
  • O ponto (0,5,10) também está na superfície (mesma distância radial, altura z=10).

Passo 5

Resumo final e um incentivo rápido: fixar \theta dá um plano vertical passando pelo eixo z; fixar r dá um cilindro circular em torno do eixo z. Sei que pode parecer muita notação no começo, mas pensar sempre na projeção no plano xy — distância r e ângulo \theta — torna essas superfícies bem visuais. Força aí; você já está pegando o jeito!

Resposta

\theta=\pi/4: plano vertical que contém o eixo z, equação cartesiana y=x.\n
r=5: cilindro circular de raio 5 com eixo ao longo do eixo z, equação cartesiana x^2+y^2=25.

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