5-6 Descreva em palavras a superficie cuja equação é dada.
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6.
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Passo 1
O enunciado pede: “Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada.” Foram dadas duas equações separadas:
- (5)
. - (6)
.
Informações relevantes fornecidas:
- As variáveis presentes são
e , que aparecem nas coordenadas cilíndricas/polares usuais (isto é, representam ângulo azimutal no plano e distância radial ao eixo , respectivamente). - Não há restrições adicionais sobre
ou sobre os outros parâmetros além do que está escrito nas equações.
Passo 2
Primeira ideia útil (conversão para coordenadas cartesianas).
- Nas coordenadas cilíndricas/polares existe a relação entre
e as coordenadas cartesianas :
Explanação didática: aqui
é a distância do ponto ao eixo
no plano
(logo
),
é o ângulo que o raio-vetor projetado no plano
faz com o eixo
(medido no sentido anti-horário), e
é a altura usual. Essas fórmulas permitem transformar qualquer equação em coordenadas cilíndricas para uma equação em
e
, que costuma ser mais fácil de visualizar geometricamente.
Passo 3
Análise da equação (5):
.
- Interpretação direta: manter
fixo significa manter a direção (ângulo) do raio que aponta no plano fixa. Portanto todos os pontos têm a mesma linha de direção no plano , mas podem ter qualquer distância e qualquer altura . - Transformando para cartesiano: usar
(quando ). Como , obtemos
- Consideração sobre o caso
: o ponto (e.g. a origem no plano com qualquer ) tecnicamente tem indefinido, mas é natural incluí-lo como pertencente ao feixe de direções; geometricamente a superfície é o plano vertical que contém o eixo e faz com o eixo . - Conclusão geométrica (descrita em palavras): a superfície é o plano vertical que passa pelo eixo
e tem equação cartesiana . Em palavras leves: é um plano “em pé” cortando o eixo , orientado a no chão .
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- O ponto
tem e está na superfície. - O ponto
também está na superfície (mesma direção no plano , altura ).
Passo 4
Análise da equação (6):
.
- Interpretação direta: manter
fixo significa ter todos os pontos cuja projeção no plano está a uma distância fixa do eixo . O ângulo pode variar livremente entre e e pode ser qualquer real. - Transformando para cartesiano:
. Então vira
- Conclusão geométrica (descrita em palavras): a superfície é um cilindro circular reto de raio
, com eixo ao longo do eixo . Em palavras leves: é um cano infinito com raio centrado no eixo vertical .
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- O ponto
está na superfície. - O ponto
também está na superfície (mesma distância radial, altura ).
Passo 5
Resumo final e um incentivo rápido: fixar
dá um plano vertical passando pelo eixo
; fixar
dá um cilindro circular em torno do eixo
. Sei que pode parecer muita notação no começo, mas pensar sempre na projeção no plano
— distância
e ângulo
— torna essas superfícies bem visuais. Força aí; você já está pegando o jeito!