3-4 Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
3.
(a)
(b)
3.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para converter de coordenadas retangulares (cartesianas) para coordenadas cilíndricas os dois pontos dados. Os pontos fornecidos são:
- (a)
- (b)
O que se deve entregar para cada ponto é a tríade em coordenadas cilíndricas
, onde
é a distância ao eixo
,
é o ângulo no plano
medido desde o eixo
e
é a coordenada vertical (igual à coordenada
cartesiana). Vou adotar a convenção padrão
.
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Em coordenadas cilíndricas, um ponto é
com
Aqui
e
são as coordenadas cartesianas dadas,
é sempre não negativo, e
é a função que dá o ângulo certo levando em conta o quadrante de
. Se não usar
, pode calcular
por
e então ajustar o valor adicionando
ou
conforme o quadrante:
- Se
e : (1º quadrante). - Se
: adicionar a (2º ou 3º quadrante), ou usar . - Se
e : para ficar em (4º quadrante). - Se
: tratar separadamente ( se , se ). - Verificação útil: depois de achar
e , deve valer e . Usar isso para checar se o ângulo escolhido está correto.
Passo 3
Converter o ponto (a)
.
- Calcular
:
- Calcular o ângulo inicial
:
- Ajustar pelo quadrante: aqui
e , ou seja estamos no 4º quadrante. O valor é correto, mas para escrever no intervalo somamos :
(Se preferir, aceitaria
como equivalente, mas estou usando a convenção
.)
4) A coordenada permanece igual:
4) A coordenada
- Checagem rápida:
e . Então e . Tudo confere.
Passo 4
Converter o ponto (b)
.
- Calcular
:
- Calcular o ângulo inicial
:
- Ajustar pelo quadrante: aqui
e , ou seja estamos no 3º quadrante. Para passar de (que deu , ângulo de referência) ao ângulo no 3º quadrante, somamos :
- A coordenada
permanece igual:
- Checagem rápida:
e . Então e . Confere.
Passo 5
Resumindo os resultados e escrevendo as coordenadas cilíndricas finais para cada ponto.