3-4 Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
3.
(a) (1,-1,4)
(b) (-1,-\sqrt{3}, 2)

Passo 1

O enunciado pede para converter de coordenadas retangulares (cartesianas) para coordenadas cilíndricas os dois pontos dados. Os pontos fornecidos são:
  • (a) (1,-1,4)
  • (b) (-1,-\sqrt{3},2)
O que se deve entregar para cada ponto é a tríade em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde r é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy medido desde o eixo x e z é a coordenada vertical (igual à coordenada z cartesiana). Vou adotar a convenção padrão \,0 \le \theta < 2\pi.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Em coordenadas cilíndricas, um ponto é (r,\theta,z) com r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
z = z.
Aqui x e y são as coordenadas cartesianas dadas, r é sempre não negativo, e \operatorname{atan2}(y,x) é a função que dá o ângulo certo levando em conta o quadrante de (x,y). Se não usar \operatorname{atan2}, pode calcular \theta por \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e então ajustar o valor adicionando \pi ou 2\pi conforme o quadrante:
  • Se x>0 e y\ge0: \theta=\arctan(y/x) (1º quadrante).
  • Se x<0: adicionar \pi a \arctan(y/x) (2º ou 3º quadrante), ou usar \theta=\arctan(y/x)+\pi.
  • Se x>0 e y<0: \theta=\arctan(y/x)+2\pi para ficar em [0,2\pi) (4º quadrante).
  • Se x=0: tratar separadamente ( \theta=\pi/2 se y>0, \theta=3\pi/2 se y<0).
  • Verificação útil: depois de achar r e \theta, deve valer x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Usar isso para checar se o ângulo escolhido está correto.

Passo 3

Converter o ponto (a) (1,-1,4).
  1. Calcular r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  1. Calcular o ângulo inicial \arctan(y/x):
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-1}{1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.
  1. Ajustar pelo quadrante: aqui x=1>0 e y=-1<0, ou seja estamos no 4º quadrante. O valor -\dfrac{\pi}{4} é correto, mas para escrever \theta no intervalo [0,2\pi) somamos 2\pi:
\theta = -\frac{\pi}{4}+2\pi = \frac{7\pi}{4}.
(Se preferir, aceitaria \theta=-\dfrac{\pi}{4} como equivalente, mas estou usando a convenção 0\le\theta<2\pi.)
4) A coordenada z permanece igual:
z=4.
  1. Checagem rápida: \cos\theta=\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}} e \sin\theta=\sin\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Então r\cos\theta=\sqrt{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}=1=x e r\sin\theta=\sqrt{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1=y. Tudo confere.

Passo 4

Converter o ponto (b) (-1,-\sqrt{3},2).
  1. Calcular r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
  1. Calcular o ângulo inicial \arctan(y/x):
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}.
  1. Ajustar pelo quadrante: aqui x=-1<0 e y=-\sqrt{3}<0, ou seja estamos no 3º quadrante. Para passar de \arctan (que deu \tfrac{\pi}{3}, ângulo de referência) ao ângulo no 3º quadrante, somamos \pi:
\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.
  1. A coordenada z permanece igual:
z=2.
  1. Checagem rápida: \cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2} e \sin\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então r\cos\theta=2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1=x e r\sin\theta=2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}=y. Confere.

Passo 5

Resumindo os resultados e escrevendo as coordenadas cilíndricas finais para cada ponto.

Resposta

(\sqrt{2},\,7\pi/4,\,4)
(2,\,4\pi/3,\,2)

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