Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
f(x)=\arctan \left(x^{2}\right) centrada em c=0

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a função f(x)=\arctan\big(x^{2}\big) como uma série de potências centrada em c=0.\n
Informações dadas: a função é f(x)=\arctan\big(x^{2}\big) e o ponto de expansão é 0.\n
Objetivo: obter uma expressão da forma \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n que seja igual a f(x) para x em algum intervalo centrado em 0, e identificar onde essa série converge.

Passo 2

Conceito útil (mini-aula): vamos lembrar a série de Taylor/Maclaurin de \arctan(u). Uma forma direta de obter essa série é partir da série geométrica e integrar termo a termo.\n
A série geométrica básica é
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n\quad\text{para }\\ |u|<1.
Substituindo u por t^2 obtemos
\frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n}\quad\text{para }\\ |t|<1.
Explicação do passo: a substituição é válida porque se |t|<1 então |t^2|<1 e a série geométrica converge; os termos ficam com potências pares t^{2n}.

Passo 3

Agora integramos a igualdade \dfrac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n} em t de 0 até x. A razão: \dfrac{d}{dt}\big(\arctan t\big)=\dfrac{1}{1+t^2}, logo
\arctan x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}\,dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n}\,dt.
Podemos trocar soma e integral para |x|<1 (convergência uniforme em compactos dentro do intervalo de convergência), então integrando termo a termo:
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Portanto a série de Maclaurin de \arctan x é
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad\text{para }\\ |x|<1.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema: temos f(x)=\arctan\big(x^{2}\big). Basta substituir x por x^2 na série de \arctan x. Assim,
\arctan\big(x^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x^{2})^{2n+1}}{2n+1}.
Agora simplifico a potência:
(x^{2})^{2n+1}=x^{4n+2}.
Logo a série fica
\arctan\big(x^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{2n+1}.

Passo 5

Escrevo os primeiros termos para ficar mais claro (substituindo n=0,1,2,\dots):
\arctan\big(x^{2}\big)=x^{2}-\frac{x^{6}}{3}+\frac{x^{10}}{5}-\frac{x^{14}}{7}+\cdots.
Isso mostra que só aparecem potências x^{4n+2} (ou seja, x^2,x^6,x^{10},\dots).

Passo 6

Convergência (mini-aula prática): a série de \arctan u tem raio de convergência 1 em u (proveniente da série geométrica), então ao substituir u=x^2 a condição de convergência torna-se |x^2|<1, isto é |x|<1. Portanto o raio de convergência em x é R=1.\n
Sobre os extremos: para x=\pm1 temos x^2=1 e a série se torna
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1},
que é a série alternada conhecida que converge (para \arctan 1=\tfrac{\pi}{4}). A convergência nesses extremos é condicional (não é absoluta), pois \sum \dfrac{1}{2n+1} diverge. Logo a série converge para |x|\leq 1 (com convergência condicional em x=\pm1).

Passo 7

Como exemplo prático de uso na prova: para aproximar \arctan(x^2) quando |x|<1, basta truncar a série. Por exemplo, para x=0,5 os dois primeiros termos dão
x^{2}-\frac{x^{6}}{3}=(0{,}5)^{2}-\frac{(0{,}5)^{6}}{3}=0{,}25-\frac{1}{64\cdot 3}\approx 0{,}24479,
que já é uma boa aproximação de \arctan(0{,}25).

Resposta

\displaystyle \arctan\big(x^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{2n+1}=x^{2}-\frac{x^{6}}{3}+\frac{x^{10}}{5}-\cdots para |x|<1.\n
Raio de convergência: R=1. Converge também em x=\pm1 (convergência condicional, valor \tfrac{\pi}{4}).

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