Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
centrada em
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a função
como uma série de potências centrada em
.\n
Informações dadas: a função é e o ponto de expansão é
.\n
Objetivo: obter uma expressão da forma que seja igual a
para
em algum intervalo centrado em
, e identificar onde essa série converge.
Informações dadas: a função é
Objetivo: obter uma expressão da forma
Passo 2
Conceito útil (mini-aula): vamos lembrar a série de Taylor/Maclaurin de
. Uma forma direta de obter essa série é partir da série geométrica e integrar termo a termo.\n
A série geométrica básica é
A série geométrica básica é
Substituindo
por
obtemos
Explicação do passo: a substituição é válida porque se
então
e a série geométrica converge; os termos ficam com potências pares
.
Passo 3
Agora integramos a igualdade
em
de
até
. A razão:
, logo
Podemos trocar soma e integral para
(convergência uniforme em compactos dentro do intervalo de convergência), então integrando termo a termo:
Portanto a série de Maclaurin de
é
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema: temos
. Basta substituir
por
na série de
. Assim,
Agora simplifico a potência:
Logo a série fica
Passo 5
Escrevo os primeiros termos para ficar mais claro (substituindo
):
Isso mostra que só aparecem potências
(ou seja,
).
Passo 6
Convergência (mini-aula prática): a série de
tem raio de convergência
em
(proveniente da série geométrica), então ao substituir
a condição de convergência torna-se
, isto é
. Portanto o raio de convergência em
é
.\n
Sobre os extremos: para temos
e a série se torna
Sobre os extremos: para
que é a série alternada conhecida que converge (para
). A convergência nesses extremos é condicional (não é absoluta), pois
diverge. Logo a série converge para
(com convergência condicional em
).
Passo 7
Como exemplo prático de uso na prova: para aproximar
quando
, basta truncar a série. Por exemplo, para
os dois primeiros termos dão
que já é uma boa aproximação de
.
Resposta
Raio de convergência: