Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
\quad f(x)=\frac{1}{2 x-3} \quad centrada em c=0

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva, como série de potências centrada em c=0, a função
f(x)=\frac{1}{2x-3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{2x-3}.
  • A série deve ser centrada em c=0 (ou seja, em torno de x=0).
  • Preciso fornecer a representação em série de potências e indicar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: quero transformar f(x) numa forma que eu conheça a série — a forma da série geométrica. Faço manipulação simples:
\frac{1}{2x-3} = -\frac{1}{3-2x}.
Agora fatoro 3 do denominador:
-\frac{1}{3-2x} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}x}.
Explicando: eu dividi numerador e denominador por 3. O objetivo é obter algo do tipo \dfrac{1}{1-r}, porque essa forma tem uma série conhecida.

Passo 3

Lembrete da série geométrica (a peça-chave aqui). Para um número complexo r tal que |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Rápida derivação (para entender por que vale): a soma parcial até N é S_N=1+r+\cdots+r^{N}=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e assim S_N\to\dfrac{1}{1-r}. Aqui r é a razão da progressão geométrica e n é o índice da soma (começando em 0).

Passo 4

Aplicando a fórmula com r=\dfrac{2}{3}x. Note que agora r depende de x; a série convergerá quando \left|\dfrac{2}{3}x\right|<1, ou seja quando |x|<\dfrac{3}{2}. Substituindo:
-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}x} = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}x\right)^{n},
válido para \left|\dfrac{2}{3}x\right|<1.

Passo 5

Agora exponencio e organizo a série em potências de x. Desenvolvendo o termo geral:
-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}x\right)^{n} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{n}}{3^{n}}x^{n} = -\frac{2^{n}}{3^{n+1}}x^{n}.
Logo a série de potências é
\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{2^{n}}{3^{n+1}}x^{n}.
Explicando as variáveis:
  • n é o índice da série (inteiro não negativo).
  • O coeficiente do termo x^{n} é a_{n}=-\dfrac{2^{n}}{3^{n+1}}.
  • A série foi construída a partir da série geométrica com r=\dfrac{2}{3}x.

Passo 6

Mostro alguns termos iniciais para ficar mais concreto (útil na prova para checar):
f(x)= -\frac{1}{3} - \frac{2}{9}x - \frac{4}{27}x^{2} - \frac{8}{81}x^{3} - \cdots
Esses coeficientes vêm de -\dfrac{2^{n}}{3^{n+1}} para n=0,1,2,3,\dots.

Passo 7

Raio e intervalo de convergência: a condição de convergência foi \left|\dfrac{2}{3}x\right|<1, que equivale a |x|<\dfrac{3}{2}. Portanto o raio de convergência é
R=\frac{3}{2}.
Teste das extremidades: para x=\dfrac{3}{2} temos r=1 e a série geométrica \sum 1 diverge. Para x=-\dfrac{3}{2} temos r=-1 e a série \sum (-1)^{n} não converge (não tem soma definida). Logo o intervalo de convergência é aberto:
\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{2^{n}}{3^{n+1}}x^{n}
Raio de convergência: R=\dfrac{3}{2} (intervalo de convergência: \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)).

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