Explicando: eu dividi numerador e denominador por 3. O objetivo é obter algo do tipo \dfrac{1}{1-r}, porque essa forma tem uma série conhecida.
Passo 3
Lembrete da série geométrica (a peça-chave aqui). Para um número complexo r tal que |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Rápida derivação (para entender por que vale): a soma parcial até N é S_N=1+r+\cdots+r^{N}=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e assim S_N\to\dfrac{1}{1-r}. Aqui r é a razão da progressão geométrica e n é o índice da soma (começando em 0).
Passo 4
Aplicando a fórmula com r=\dfrac{2}{3}x. Note que agora r depende de x; a série convergerá quando \left|\dfrac{2}{3}x\right|<1, ou seja quando |x|<\dfrac{3}{2}. Substituindo:
Esses coeficientes vêm de -\dfrac{2^{n}}{3^{n+1}} para n=0,1,2,3,\dots.
Passo 7
Raio e intervalo de convergência: a condição de convergência foi \left|\dfrac{2}{3}x\right|<1, que equivale a |x|<\dfrac{3}{2}. Portanto o raio de convergência é
R=\frac{3}{2}.
Teste das extremidades: para x=\dfrac{3}{2} temos r=1 e a série geométrica \sum 1 diverge. Para x=-\dfrac{3}{2} temos r=-1 e a série \sum (-1)^{n} não converge (não tem soma definida). Logo o intervalo de convergência é aberto:
\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).
Resposta
\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{2^{n}}{3^{n+1}}x^{n}
Raio de convergência: R=\dfrac{3}{2} (intervalo de convergência: \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)).