Descreva todas as formas escalonadas reduzidas possíveis de
\left[\begin{array}{llll}a & b & c & d \\\ e & f & g & h \\\ i & j & k & l \\\ m & n & p & q\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para descrever todas as formas escalonadas reduzidas possíveis de uma matriz genérica 4\times4. O conteúdo é a definição de forma escalonada reduzida (RREF – reduced row‐echelon form), que depende somente do posto r da matriz e das posições das colunas de pivô. Para resolver, vamos usar:
  1. A definição de RREF (cada linha de pivô tem um único 1 e zeros nas demais entradas de colunas de pivô; linhas de zeros ficam abaixo).
  2. A classificação por posto r, que varia de 0 a 4.
  3. Para cada r, as colunas de pivô podem ser escolhidas em \binom{4}{r} maneiras.

Passo 2

Definição de forma escalonada reduzida (RREF) para uma matriz 4\times4:
\begin{cases} \text{(i)}\; \text{linhas de zeros (se existirem) ficam embaixo;}\\\ \text{(ii)}\; \text{cada linha não nula tem seu primeiro 1 (pivô) à direita do pivô da linha anterior;}\\\ \text{(iii)}\; \text{cada coluna de pivô contém esse único 1 e zeros em todas as outras linhas;}\\\ \text{(iv)}\; \text{em colunas sem pivô, as entradas na altura dos pivôs podem ser parâmetros livres.} \end{cases}ãôàôôéúôôâ

Passo 3

Caso r=0 (posto zero): não há pivôs, toda a matriz é nula. A única RREF possível é
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Caso r=1 (posto um): \binom{4}{1}=4 formas, dependendo de em qual coluna j\in\{1,2,3,4\} está o pivô. Sejam a,b,c parâmetros livres. As RREF são:
E_1(1)= \begin{pmatrix} 1 & a & b & c\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \;E_1(2)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & a & b\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
E_1(3)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & a\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \;E_1(4)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Caso r=2 (posto dois): \binom{4}{2}=6 formas, escolhendo duas colunas de pivô 1\le j<k\le4. Denotando por \alpha,\beta,\gamma,\delta os parâmetros livres, a forma geral para colunas de pivô (j,k) é
E_2(j,k)= \begin{pmatrix} e_{1j} & \cdots & e_{1k} & \cdots\\\ e_{2j} & \cdots & e_{2k} & \cdots\\\\ 0 & \cdots & 0 & \cdots\\\\ 0 & \cdots & 0 & \cdots \end{pmatrix},
onde
\begin{aligned} &\text{linha 1: 1 em coluna }j,\;0\text{ em coluna }k,\;\text{ parâmetros livres nas outras duas colunas;}\\\ &\text{linha 2: 0 em coluna }j,\;1\text{ em coluna }k,\;\text{ parâmetros livres nas outras duas colunas.} \end{aligned}ââ
As seis escolhas (j,k) são (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

Passo 6

Caso r=3 (posto três): \binom{4}{3}=4 formas, escolhendo três colunas de pivô 1\le j<k<\ell\le4. Para cada tripla de colunas de pivô, a RREF tem três linhas de pivô com um único 1 em cada coluna de pivô e zeros entre pivôs, e há um parâmetro livre na coluna não pivô que aparece em cada uma das três linhas de pivô.

Passo 7

Caso r=4 (posto quatro): \binom{4}{4}=1 forma, única e igual à matriz identidade 4\times4:
\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.

Resposta

As formas escalonadas reduzidas possíveis de uma matriz 4\times4 genérica são exatamente aquelas de posto r variando de 0 a 4, com \binom{4}{r} escolhas das colunas de pivô. Para cada escolha, coloca‐se 1 no pivô de cada linha, zeros nas outras entradas de colunas de pivô, e parâmetros livres nas colunas restantes.

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