Descreva todas as formas escalonadas reduzidas possíveis de
\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para descrever todas as possíveis formas escalonadas reduzidas (RREF) de uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a definição de forma escalonada reduzida (RREF) e a contagem de pivôs, que equivale ao posto (rank) da matriz. Para cada valor possível de posto r\in\{0,1,2,3\}, há \binom{3}{r} maneiras de escolher as colunas-pivô. Em cada RREF os pivôs são 1, cada coluna-pivô tem zeros fora do pivô, cada linha de pivô tem exclusivamente seu 1 como único elemento não nulo naquela coluna, e linhas nulas ficam abaixo de todas as linhas não nulas.

Passo 2

Listamos os casos segundo o posto r:
Caso r=0. Não há pivô. Toda a matriz é nula.

Passo 3

Caso r=1. Escolhemos 1 coluna-pivô entre \{1,2,3\}. A primeira linha terá o pivô 1 nessa coluna, e as outras duas linhas serão nulas. Nas colunas livres (não-pivô) aparecem coeficientes arbitrários na linha de pivô. As três formas são:
\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \beta\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & \gamma\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} são livres.

Passo 4

Caso r=2. Escolhemos 2 colunas-pivô j_1<j_2. As duas primeiras linhas têm pivôs 1 nessas colunas e zeros em todas as outras posições da coluna-pivô; a terceira linha é nula. Na única coluna livre sobram dois coeficientes livres nas duas linhas de pivô. As três possíveis RREF são:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \delta\\\\ 0 & 1 & \varepsilon\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & \zeta & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & \eta\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde \delta,\varepsilon,\zeta,\eta\in\mathbb{R}.

Passo 5

Caso r=3. Há pivô em cada coluna, logo a única RREF é a matriz identidade
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

As 8 formas escalonadas reduzidas possíveis são:
(a) r=0:
\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
(b) r=1:
\begin{pmatrix} 1&\alpha&\beta\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0&1&\gamma\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0&0&1\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
(c) r=2:
\begin{pmatrix} 1&0&\delta\\\ 0&1&\varepsilon\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1&\zeta&0\\\ 0&0&1\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0&1&\eta\\\ 0&0&1\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
(d) r=3:
\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

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