Descreva a variação da condutividade elétrica de semicondutores intrínsecos e extrínsecos tipo n. Dê as respectivas expressões da dependência da condutividade elétrica com a temperatura, para os dois tipos de semicondutores. Dê o significado de cada um dos parâmetros da expressão em questão.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Descrever como a condutividade elétrica varia com a temperatura em semicondutores intrínsecos.
Descrever como a condutividade elétrica varia com a temperatura em semicondutores extrínsecos do tipo n.
Fornecer as expressões da dependência da condutividade com a temperatura para os dois casos e explicar o significado de cada parâmetro nessas expressões.
Informações implícitas que vou usar (não pedidas, mas necessárias para resolver): a condutividade elétrica de um material é dada por cargas livres e suas mobilidades; semicondutor intrínseco tem concentrações de elétrons e lacunas iguais (n=p=n_i); semicondutor n-tipo tem elétrons majoritários provenientes de dopantes doadores (N_D).
Passo 2
Fórmula básica e interpretação (a “fórmula mestre” que usamos sempre):
\sigma(T) é a condutividade elétrica a temperatura T.
q é a carga elementar (q=1,602\cdot10^{-19} C).
n(T) é a densidade de elétrons livres por unidade de volume em função de T.
p(T) é a densidade de lacunas (holes) por unidade de volume em função de T.
\mu_n(T) e \mu_p(T) são as mobilidades dos elétrons e lacunas, que também dependem de T.
No semicondutor intrínseco temos n(T)=p(T)=n_i(T). No n-tipo, para temperaturas em que os doadores estão ionizados, n(T)\gg p(T) e a expressão fica aproximadamente \sigma\approx q\,n(T)\,\mu_n(T). Vou usar essas informações para obter as fórmulas pedidas.
Passo 3
Semicondutor intrínseco — derivação passo a passo da dependência com T.
Concentração intrínseca n_i(T): a expressão padrão da física de semicondutores é
onde m_n^* e m_p^* são as massas efetivas do elétron e da lacuna e h é a constante de Planck. Note que N_c N_v\propto T^{3}, logo \sqrt{N_c N_v}\propto T^{3/2}.
Condutividade intrínseca \sigma_{\text{int}}(T): substituindo n=p=n_i em \sigma:
Simplificação qualitativa para provas: como \sqrt{N_c N_v}\propto T^{3/2} e as mobilidades costumam seguir potência de T (aproximadamente \mu\propto T^{-r}, com r típico entre 1 e 2, dependendo do mecanismo de espalhamento), a dependência dominante em altas temperaturas é a exponencial com energia de ativação E_g/2:
onde \overline{\mu}(T)=\mu_n(T)+\mu_p(T) (ou, em muitas aproximações, tratamos \overline{\mu} como uma potência T^{-r}). Em provas normalmente você destaca o fator exponencial \exp(-E_g/(2k_B T)) como responsável pelo aumento rápido da condutividade com T.
Passo 4
Semicondutor extrínseco tipo n — regimes de temperatura e expressões aproximadas. Vou dividir em três regimes claros (isso é frequentemente pedido em provas):
Regime A — baixa temperatura (regime de “freeze-out” dos doadores):
Muitos doadores não estão ionizados; a concentração de elétrons livres n(T) cresce com T por ionização térmica dos níveis de doadores. Uma forma aproximada (modelo de ativação simples) é
onde E_D é a energia de ionização do doador (energia necessária para liberar o elétron do nível doador para a banda de condução). Assim, a condutividade neste regime é aproximadamente
Observação didática: a expressão exata vem da equação de equilíbrio de ionização (semelhante à equação de Saha), mas para provas normalmente basta saber que há uma dependência exponencial com energia de ativação E_D.
Regime B — temperatura intermediária (regime extrínseco, “completa ionização”):
Quase todos os doadores estão ionizados, então a concentração de elétrons é aproximadamente constante e igual à concentração de dopantes ionizados:
n(T)\approx N_D^{+}\approx N_D-N_A\quad(\text{se }N_D\gg N_A\text{, então }n\approx N_D).ã
A condutividade é então controlada pela mobilidade:
\sigma(T)\approx q\,N_D\,\mu_n(T).
Aqui \mu_n(T) geralmente diminui com T por espalhamento por fônons; uma lei de potência comum é \mu_n(T)\propto T^{-r} com r\sim1{,}5 (valor típico). Logo \sigma decresce leve e aproximadamente como uma potência de T nessa faixa.
Regime C — alta temperatura (regime intrínseco dominante):
Em temperaturas suficientemente altas a geração intrínseca domina e a condutividade volta a crescer fortemente com T com o mesmo comportamento do semicondutor intrínseco:
Portanto, um semicondutor n-tipo tem uma curva típica \sigma(T) com: crescimento exponencial (freeze-out → ativação de doadores), depois uma placa ou queda leve (regime extrínseco com \sigma\sim N_D\mu_n(T)), e finalmente um aumento forte governado por \exp(-E_g/(2k_B T)) quando o comportamento intrínseco domina.
Passo 5
Explicando os parâmetros e a dependência das mobilidades (a parte que costuma confundir):
q: carga do elétron, número fixo.
n(T),p(T): concentrações de portadores (elétrons, lacunas) que dependem fortemente dos processos de ionização e geração térmica.
\mu_n(T),\mu_p(T): mobilidades; dependem de mecanismos de espalhamento. Dois limites típicos: espalhamento por impurezas ionizadas (domina a baixas T, dá \mu\propto T^{3/2}) e espalhamento por fônons (domina a altas T, dá \mu\propto T^{-3/2} aproximadamente). Por isso dizemos de forma prática \mu\propto T^{-r} com r entre 1 e 2 na faixa onde fônons dominam.
N_c(T),N_v(T): densidades efetivas de estados nas bandas; dependem de T como T^{3/2} (e contêm dependência das massas efetivas m_n^* e m_p^*).
E_g: gap (energia), determina a ativação intrínseca com fator \exp(-E_g/(2k_B T)).
E_D: energia de ionização do doador (tipicamente muito menor que E_g), determina a ativação dos doadores no regime de freeze-out com fator \exp(-E_D/(k_B T)).
N_D e N_A: concentrações de doadores e aceptores (por unidade de volume). Em semicondutor n-type com doadores dominantes, N_D define o número máximo de elétrons disponíveis no regime extrínseco.
Dica para prova: quando pedirem “como varia”, descreva os três regimes para n-tipo (freeze‑out → extrínseco → intrínseco) e destaque as dependências exponenciais com energias de ativação E_D e E_g/2. Use a fórmula mestre \sigma=q n\mu para justificar cada expressão.
\text{densidades efetivas de estados nas bandas (}\propto T^{3/2}\text{); }m_n^*,m_p^*\text{ são massas efetivas.}ã
E_g:\\ \text{largura de banda proibida (gap).}
E_D:\\ \text{energia de ionização do doador (nível de impureza).}çãí
N_D,\\ N_A:\\ \text{concentrações de doadores e aceptores (por volume).}çõ
k_B:\\ \text{constante de Boltzmann.}
Observação final: nas formas simplificadas destacamos dois comportamentos exponenciais dominantes — \exp(-E_D/(k_B T)) no freeze‑out dos doadores e \exp(-E_g/(2k_B T)) quando a geração intrínseca domina — e uma dependência de potência em T vinda de N_c,N_v e de \mu(T). Boa sorte na prova — você chega lá!]