Calcule a densidade de elétrons livres e buracos que existe em um semicondutor de germânio a 25^{\circ} \mathrm{C}, sendo dado: (a) condutividade elétrica do germânio a 25^{\circ} \mathrm{C} : 2,2 \Omega^{-1} \mathrm{~m}^{-1}; (b) mobilidade dos elétrons livres e dos buracos é de 0,38 e 0,18 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{Vs} respectivamente; R. 2,45 \times 10^{19} \mathrm{~m}^{-3}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a densidade de elétrons livres e a densidade de buracos (portadores minoritários/majoritários) em um pedaço de germânio a 25^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
\sigma = 2,2\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}
\mu_n = 0,38\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{V\,s}
\mu_p = 0,18\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{V\,s}
O enunciado já dá um resultado de conferência: 2,45\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}. Não foram fornecidos outros dados na figura ou tabela.

Passo 2

Conceito básico e fórmula usada (explicação didática): quando um campo elétrico E é aplicado num material com elétrons e buracos, cada tipo de portador gera uma densidade de corrente de arraste (drift). Para elétrons a velocidade de arraste é v_{n}=\mu_n E e para buracos é v_{p}=\mu_p E. A densidade de corrente de cada tipo é J_n = q n v_n e J_p = q p v_p, onde:
q
é a carga elementar do elétron ( q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}), n é a densidade de elétrons livres ( \mathrm{m}^{-3}) e p é a densidade de buracos ( \mathrm{m}^{-3}). Somando as contribuições e usando J=\sigma E obtemos a relação fundamental:
\sigma = q\bigl(n\mu_n + p\mu_p\bigr).
Essa fórmula diz: a condutividade elétrica \sigma resulta da carga transportada por cada portador multiplicada pela sua mobilidade e pela sua concentração.

Passo 3

Hipótese necessária: para germânio puro na temperatura ambiente assumimos que o material é intrínseco, isto é, a densidade de elétrons livres é igual à densidade de buracos:
n = p = n_i,
onde n_i é a concentração intrínseca. Assim a fórmula do passo anterior fica:
\sigma = q\,n_i(\mu_n+\mu_p).

Passo 4

Isolando n_i da equação:
n_i = \dfrac{\sigma}{q\left(\mu_n+\mu_p\right)}.
Agora vamos substituir os valores numéricos (explicando cada substituição):
\sigma = 2{,}2\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}, \mu_n+\mu_p = 0{,}38+0{,}18\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{V\,s}, q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a soma das mobilidades:
\mu_n+\mu_p = 0{,}38 + 0{,}18 = 0{,}56\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{V\,s}.

Passo 6

Calcular o denominador q(\mu_n+\mu_p):
q(\mu_n+\mu_p) = (1{,}602\times10^{-19})\times 0{,}56 = 8{,}9712\times10^{-20}.
Unidades: \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{V\,s} que, quando usados na fórmula com \sigma em \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}, dão a densidade em \mathrm{m}^{-3} (consistência dimensional).

Passo 7

Agora a divisão final:
n_i = \dfrac{2{,}2}{8{,}9712\times10^{-20}} \approx 2{,}451\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Arredondando adequadamente obtemos
n_i \approx 2{,}45\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}.

Passo 8

Interpretação final e resposta ao que foi pedido: como n=p=n_i no semicondutor intrínseco, a densidade de elétrons livres e a de buracos são iguais a esse valor. Força: você conseguiu derivar a fórmula a partir de princípios simples (velocidade de arraste e corrente) e aplicar com os números dados — é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.

Resposta

n = 2{,}45\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}
p = 2{,}45\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}

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