Uma o.p.u. se propaga num material não magnético, sem perdas, com \varepsilon_{\mathrm{r}}=9, sendo \omega=10^{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcular \mathbf{H} no ponto P(100 ; 80 ; 500) \mathrm{m} em \mathrm{t}=8 \mu \mathrm{~s} para cada um dos campos:
a) \mathbf{E}_{\mathbf{s}}=600 \exp (-\mathrm{j} \beta \mathrm{z}) \mathbf{i}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Meio: não magnético e sem perdas, logo \mu_{\mathrm{r}}=1 e \sigma=0.
  • \varepsilon_{\mathrm{r}}=9.
  • \omega=10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Campo fásico dado: \displaystyle \tilde{\mathbf{E}}=600\,\mathrm{e}^{-\,\mathrm{j}\beta z}\,\mathbf{i} (unidades \mathrm{V/m}).
  • Ponto onde se quer \mathbf{H}: P(100;80;500)\\ \mathrm{m} (portanto z=500\\ \mathrm{m}).
  • Instante: t=8\\ \mu\mathrm{s}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Pedido: calcular o campo magnético \mathbf{H} no ponto P no instante t para o campo dado.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
  • Número de onda (em meio não condutor) \beta é dado por
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon},
onde \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}} e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}.
Aqui \mu_{\mathrm{r}}=1, logo \beta=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
  • Impedância intrínseca do meio \eta:
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\eta_0\sqrt{\frac{\mu_{\mathrm{r}}}{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}.
Como \mu_{\mathrm{r}}=1, temos \eta=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}, com \eta_0\approx377\\ \Omega.
  • Relação entre fásores de \mathbf{E} e \mathbf{H} para uma onda plana e perda nula:
\tilde{\mathbf{H}}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\tilde{\mathbf{E}},
onde \hat{k} é a direção de propagação (versor do vetor de onda) e \times é o produto vetorial. Explicação do produto vetorial: se a onda propaga em +z então \hat{k}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|=\mathbf{z}; com \tilde{\mathbf{E}} em \mathbf{i} (eixo x), tem-se \mathbf{z}\times\mathbf{i}=\mathbf{j} (eixo y). Assim o campo \mathbf{H} fica paralelo a \mathbf{j}.
  • Conversão fásor → campo físico no tempo: se \tilde{\mathbf{H}}(r) é o fásor espacial, o campo físico é
\mathbf{H}(r,t)=\Re\{\tilde{\mathbf{H}}(r)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\}.
Isto corresponde, quando \tilde{\mathbf{H}}=\hat{H}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta z}, a \mathbf{H}(z,t)=\hat{H}\cos(\omega t-\beta z) na direção do vetor unitário.

Passo 3

Calcular \beta numericamente, passo a passo:
  • Velocidade da luz no vácuo: c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e k_0=\omega/c.
k_0=\frac{\omega}{c}=\frac{10^{5}}{3\times10^{8}}=3{,}333\times10^{-4}\\ \text{rad/m}.
  • Como \beta=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}} (porque \beta=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}}=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}),
\beta=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=3{,}333\times10^{-4}\times\sqrt{9}=3{,}333\times10^{-4}\times3=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{rad/m}.
Portanto \beta=0{,}001\\ \text{rad/m}.

Passo 4

Calcular a impedância \eta e a amplitude de \tilde{\mathbf{H}}:
  • \eta=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}=\dfrac{377}{3}\\ \Omega\approx125{,}666\\ \Omega.
  • O fásor \tilde{\mathbf{H}} pela relação vetorial:
\tilde{\mathbf{H}}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\tilde{\mathbf{E}}.
Aqui \hat{k}=\mathbf{z} (propagação em +z) e \tilde{\mathbf{E}}=600\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta z}\mathbf{i}. Como \mathbf{z}\times\mathbf{i}=\mathbf{j},
\tilde{\mathbf{H}}=\frac{600}{\eta}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta z}\,\mathbf{j}.
  • Amplitude numérica \dfrac{600}{\eta}=\dfrac{600}{125{,}666\ldots}\approx4{,}7752809\\ \mathrm{A/m}.

Passo 5

Passar para o domínio do tempo e avaliar no ponto P e tempo dado:
  • O campo no tempo é
\mathbf{H}(z,t)=\frac{600}{\eta}\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{j}.
  • Calcular os argumentos numéricos no ponto z=500\\ \mathrm{m} e t=8\times10^{-6}\\ \mathrm{s}:
\beta z=0{,}001\times500=0{,}5\\ \text{rad}, \qquad \omega t=10^{5}\times8\times10^{-6}=0{,}8\\ \text{rad}.
  • Portanto o argumento do cosseno é \omega t-\beta z=0{,}8-0{,}5=0{,}3\\ \text{rad}.
  • Avaliando numericamente:
\cos(0{,}3)\approx0{,}9553365,
\frac{600}{\eta}\cos(0{,}3)\approx4{,}7752809\times0{,}9553365\approx4{,}562412\\ \mathrm{A/m}.
  • Direção: \mathbf{j} (eixo y) positiva.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(100,80,500,\;t=8\\ \mu\mathrm{s})\approx4{,}562\\ \mathbf{j}\\ \mathrm{A/m}

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