Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa. Sabendo que a área total disponível para a base e as quatro faces laterais é igual a 48 unidades de área, determine as dimensões da caixa de volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede que se construa uma caixa retangular sem tampa, usando uma área total fixa de material para a base e as quatro faces laterais igual a \;48 unidades de área, e que se determine as dimensões da caixa que tornam o volume máximo.
Informações fornecidas:
Área total disponível (base + 4 faces laterais): \;48.
A caixa é retangular sem tampa (ou seja, tem base e quatro faces laterais, sem face superior).
Queremos maximizar o volume da caixa.
O que precisamos encontrar:
As dimensões da base (comprimento e largura) e a altura da caixa que maximizam o volume (e, opcionalmente, o valor do volume máximo).
Passo 2
Definindo variáveis e escrevendo as fórmulas que vamos usar.
Seja \;x o comprimento da base (unidades de comprimento).
Seja \;y a largura da base (unidades de comprimento).
Seja \;z a altura da caixa (unidades de comprimento).
Explicando as fórmulas:
A área da base é \;xy. (Produto do comprimento pela largura.)
Cada face lateral tem área \;xz ou \;yz; como há duas faces de cada tipo, a soma das áreas laterais é \;2xz+2yz.
Logo, a restrição (área total disponível) é
xy + 2xz + 2yz = 48.
O volume da caixa é
V = xyz.
Objetivo: maximizar \;V=xyz sujeito à restrição \;xy+2xz+2yz=48.
Passo 3
Escolha do método e explicação didática do mesmo.
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Breve explicação do método:
Quando se quer maximizar (ou minimizar) uma função V(x,y,z) sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0, busca-se um ponto onde os gradientes sejam proporcionais: \nabla V = \lambda \nabla g, com \lambda um multiplicador.
Isso dá um sistema de equações que, junto com a restrição, determina os candidatos a extremos com a restrição.
Justificativa intuitiva: no ponto ótimo, pequenas variações admissíveis que respeitem a restrição não devem aumentar V; geometricamente os gradientes ficam alinhados.
Aplicando ao nosso caso:
V(x,y,z)=xyz.
g(x,y,z)=xy+2xz+2yz-48.
Passo 4
Escrevendo as equações de Lagrange (calcular gradientes e igualar).
Resolver o sistema de equações de Lagrange — primeira implicação (simetria da base).
Dividindo a primeira equação pela segunda (assumindo xz\neq0 e yz\neq0, i.e., dimensões positivas):
\frac{yz}{xz} = \frac{y+2z}{x+2z}.
Isso simplifica para
\frac{y}{x} = \frac{y+2z}{x+2z}.
Multiplicando em cruz:
y(x+2z) = x(y+2z).
Expandindo:
yx + 2yz = xy + 2xz.
Cancelando xy=yx dos dois lados:
2yz = 2xz \quad\Rightarrow\quad y = x,
já que z>0. Conclusão: a base deve ser quadrada, isto é, y=x. (Intuição: para volume máximo, com essa restrição simétrica, a base tende a ficar quadrada.)
Passo 6
Usando y=x e resolvendo para z via as equações de Lagrange.
Com y=x, a terceira equação fica
xy = \lambda(2x+2y)=\lambda(4x).
Como x>0, divide-se por x:
x = 4\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{x}{4}.
Agora use a primeira (ou segunda) equação com y=x:
yz = \lambda(y+2z) \quad\Rightarrow\quad xz = \lambda(x+2z).
Substituindo \lambda=\dfrac{x}{4}:
xz = \frac{x}{4}(x+2z).
Dividindo por x>0:
z = \frac{1}{4}(x+2z).
Multiplicando ambos os lados por 4:
4z = x + 2z \quad\Rightarrow\quad 2z = x \quad\Rightarrow\quad z = \frac{x}{2}.
Portanto, até agora temos y=x e z=\dfrac{x}{2}.
Passo 7
Aplicar a restrição de área para encontrar x.
A restrição é
xy + 2xz + 2yz = 48.
Substituindo y=x e z=\dfrac{x}{2}:
xy = x\cdot x = x^2.
2xz = 2x\cdot \dfrac{x}{2} = x^2.
2yz = 2x\cdot \dfrac{x}{2} = x^2.
Somando:
x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2 = 48.
Logo
x^2 = \frac{48}{3} = 16 \quad\Rightarrow\quad x = 4
(consideramos a raiz positiva porque dimensões são positivas). Assim:
x = 4,\qquad y = x = 4,\qquad z = \frac{x}{2} = 2.
Passo 8
Calcular o volume máximo e discutir por que é máximo.
Volume correspondente:
V_{\max} = xyz = 4\cdot 4 \cdot 2 = 32.
Justificativa de que é máximo (intuição e verificação): a região das dimensões admissíveis (com x,y,z>0 e área fixa) é compacta fechando com limites onde pelo menos uma dimensão tende a zero e o volume tende a zero; a função volume é contínua, logo atinge máximo em algum ponto do conjunto viável. Encontramos um ponto crítico interior via Lagrange; como o volume é zero nas fronteiras e positivo no ponto crítico, este ponto crítico corresponde ao máximo global. (Em termos simples: quando uma dimensão vai a zero, volume vai a zero; portanto o ponto crítico interior com volume positivo é o máximo.)
Resposta
Dimensões da base: \;4\times4.
Altura: \;2.
Volume máximo: \;32.