Determine o ponto da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
que está mais próximo do ponto (1,2,6).

Passo 1

O enunciado dá a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
e o ponto (1,2,6). A pergunta é: qual ponto da esfera está mais próximo do ponto (1,2,6)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A esfera tem centro em (0,0,0) (a origem).
  • O raio da esfera é 3 porque \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=3^{2}.
  • O ponto externo dado é P=(1,2,6).
  • Queremos um ponto X=(x,y,z) sobre a esfera que minimize a distância até P.

Passo 2

Vamos transformar o problema de “minimizar distância” numa forma algébrica mais fácil de tratar.
Defina a função distância ao quadrado entre um ponto genérico X=(x,y,z) e P=(1,2,6):
D^{2}(x,y,z)=\|(x,y,z)-(1,2,6)\|^{2}=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-6)^{2}.
Minimizar D é equivalente a minimizar D^{2} (porque a função raiz quadrada é crescente para argumentos não negativos). Trabalhar com D^{2} evita raízes e é mais simples.
Agora use a identidade do produto interno para reescrever D^{2}. Seja X o vetor (x,y,z) e P o vetor (1,2,6). Tem-se
D^{2}=\|X-P\|^{2}=\|X\|^{2}-2X\cdot P+\|P\|^{2}.
Mas na esfera \|X\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 é fixo. Portanto, ao variar X sobre a esfera, minimizar D^{2} é o mesmo que minimizar
9-2X\cdot P+\|P\|^{2},
o que, por termos constantes 9 e \|P\|^{2}, equivale a maximizar o produto interno X\cdot P.
Resumo do raciocínio: entre todos os vetores X com comprimento fixo \|X\|=3, o produto interno X\cdot P é máximo quando X aponta na mesma direção de P (ou seja, quando X é paralelo a P e no mesmo sentido). Isso decorre da fórmula
X\cdot P=\|X\|\,\|P\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre X e P; para \|X\| fixo, a expressão é máxima quando \cos\theta=1, isto é, \theta=0.
Portanto o ponto X buscado deve ser o vetor de magnitude 3 na direção de P.

Passo 3

Calcule a norma de P:
\|P\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+6^{2}}=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}.
O versor (vetor unitário) na direção de P é
u=\frac{P}{\|P\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{41}},\frac{2}{\sqrt{41}},\frac{6}{\sqrt{41}}\right).
Como queremos X com \|X\|=3 na direção de P, temos
X=3u=3\cdot\frac{P}{\|P\|}=\left(\frac{3}{\sqrt{41}},\frac{6}{\sqrt{41}},\frac{18}{\sqrt{41}}\right).

Passo 4

Cheque rápido (para ficar mais tranquilo): pelo cálculo,
\|X\|^{2}=\left(\frac{3}{\sqrt{41}}\right)^{2}+\left(\frac{6}{\sqrt{41}}\right)^{2}+\left(\frac{18}{\sqrt{41}}\right)^{2}=\frac{9+36+324}{41}=\frac{369}{41}=9,
portanto X realmente está sobre a esfera.
Também é possível ver a distância mínima: \displaystyle D_{\min}=\|P\|-3=\sqrt{41}-3, pois o ponto mais próximo fica exatamente sobre a reta que liga a origem a P e a distância da origem a P é \sqrt{41}.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{41}},\frac{6}{\sqrt{41}},\frac{18}{\sqrt{41}}\right)

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