Determine o ponto da esfera
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e o ponto
. A pergunta é: qual ponto da esfera está mais próximo do ponto
?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A esfera tem centro em
(a origem). - O raio da esfera é
porque . - O ponto externo dado é
. - Queremos um ponto
sobre a esfera que minimize a distância até .
Passo 2
Vamos transformar o problema de “minimizar distância” numa forma algébrica mais fácil de tratar.
Defina a função distância ao quadrado entre um ponto genérico
e
:
Minimizar
é equivalente a minimizar
(porque a função raiz quadrada é crescente para argumentos não negativos). Trabalhar com
evita raízes e é mais simples.
Agora use a identidade do produto interno para reescrever
. Seja
o vetor
e
o vetor
. Tem-se
Mas na esfera
é fixo. Portanto, ao variar
sobre a esfera, minimizar
é o mesmo que minimizar
o que, por termos constantes
e
, equivale a maximizar o produto interno
.
Resumo do raciocínio: entre todos os vetores
com comprimento fixo
, o produto interno
é máximo quando
aponta na mesma direção de
(ou seja, quando
é paralelo a
e no mesmo sentido). Isso decorre da fórmula
onde
é o ângulo entre
e
; para
fixo, a expressão é máxima quando
, isto é,
.
Portanto o ponto
buscado deve ser o vetor de magnitude
na direção de
.
Passo 3
Calcule a norma de
:
O versor (vetor unitário) na direção de
é
Como queremos
com
na direção de
, temos
Passo 4
Cheque rápido (para ficar mais tranquilo): pelo cálculo,
portanto
realmente está sobre a esfera.
Também é possível ver a distância mínima:
, pois o ponto mais próximo fica exatamente sobre a reta que liga a origem a
e a distância da origem a
é
.