Deseja-se desenhar um objeto de 30 m de comprimento, para sua clareza o desenho deve ter no mínimo 16 cm e no máximo 25 cm . Considerando as escalas 1:125 e 1:150: (a) Qual deve ser a escala mínima? (b) Qual deve ser a escala máxima? (c) Considerando os fatores de escala, qual será a escala mais adequada?

Passo 1

Dados e perguntas do enunciado (sem resolver ainda):
  • Comprimento real do objeto: 30 m.
  • O desenho deve ter comprimento entre 16 cm (mínimo) e 25 cm (máximo).
  • Escalas consideradas: 1:125 e 1:150.
    Perguntas:
    (a) Qual deve ser a escala mínima?
    (b) Qual deve ser a escala máxima?
    (c) Entre as escalas 1:125 e 1:150, qual é a escala mais adequada considerando os fatores de escala?

Passo 2

Entendendo o que é escala e a fórmula que vamos usar:
  • Uma escala 1:n significa que 1 unidade no desenho representa n unidades na realidade.
  • Se o comprimento real é L_r (em cm) e a escala é 1:n, o comprimento no desenho L_d (em cm) é dado por
L_d=\frac{L_r}{n}.
Aqui L_r e L_d devem estar na mesma unidade (cm).

Passo 3

Conversão de unidades para usar na fórmula:
  • O objeto tem 30 m. Em centímetros isso é
L_r=30\\ \text{m}=30\times100=3000\\ \text{cm}.

Passo 4

Determinar o intervalo de n que produz desenhos entre 16 cm e 25 cm:
Queremos
16 \le L_d \le 25.
Substituindo L_d=\dfrac{3000}{n} obtemos
16 \le \frac{3000}{n} \le 25.

Passo 5

Resolver as desigualdades para n (passo a passo):
Primeira desigualdade:
16 \le \frac{3000}{n}\Rightarrow 16n \le 3000 \Rightarrow n \le \frac{3000}{16} = 187{,}5.
Segunda desigualdade:
\frac{3000}{n} \le 25 \Rightarrow 3000 \le 25n \Rightarrow n \ge \frac{3000}{25} = 120.
Combinando:
120 \le n \le 187{,}5.

Passo 6

Interpretação do intervalo em termos de escala:
  • Escala com n menor significa menos redução (desenho maior).
  • Escala com n maior significa mais redução (desenho menor).
    Portanto:
  • Escala mínima (menor n) = 1:120 — produz o maior desenho permitido ( 25 cm ).
  • Escala máxima (maior n) = 1:187{,}5 — produz o menor desenho permitido ( 16 cm ).
    (Em prática, costuma-se usar denominadores inteiros; 1:187{,}5 pode ser arredondada para 1:188 se necessário.)

Passo 7

Verificar as escalas dadas 1:125 e 1:150 se estão dentro do intervalo e calcular os comprimentos no desenho:
Para 1:125 ( n=125):
L_d=\frac{3000}{125}=24\\ \text{cm}.
Para 1:150 ( n=150):
L_d=\frac{3000}{150}=20\\ \text{cm}.
Ambas estão dentro do intervalo exigido ( 16 cm a 25 cm), ou seja, ambas são admissíveis.

Passo 8

Escolhendo a escala mais adequada (critério de clareza/legibilidade):
  • Para clareza do desenho é preferível que ele seja o maior possível, desde que não ultrapasse o máximo permitido.
  • 1:125 produz 24 cm (mais próximo do limite máximo de 25 cm), enquanto 1:150 produz 20 cm (mais reduzido).
  • Distância até o máximo permitido: 25-24=1 cm para 1:125 e 25-20=5 cm para 1:150.
    Logo, 1:125 fornece um desenho maior e, portanto, mais claro; é a escolha mais adequada entre as duas.

Resposta

a) 1:120
b) 1:187{,}5
c) 1:125

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