Se deseja destilar uma mistura etanol-água que contém 60 \% em massa de etanol a 101,32 \mathrm{kPa}, para obter um destilado que contenha 85 \% em massa de etanol e um produto de fundo que contenha no máximo 2 \% em massa de etanol. A vazão de alimentação, que se encontra no estado de líquido saturado, é de 10000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e a coluna opera com um condensador total. Calcule:
a. As quantidades de destilado e produto de fundo;
b. A razão de refluxo mínima a partir dos dados de entalpia-concentração do sistema;
c. O número aproximado de estágios teóricos para o caso em que a razão de refluxo empregada é de 2 vezes a mínima.
d. os requerimentos energéticos do condensador e do refervedor

Passo 1

O enunciado nos dá uma coluna de destilação binária etanol–água com as seguintes informações e pede quatro coisas. Vou listar TUDO que temos e o que se pede, bem explicadinho para a gente não se perder depois.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Vazão de alimentação: }F=10000\\ \text{kg/h} \\\ &\text{Composição da alimentação (massa de etanol): }z_F=0{,}60 \\\ &\text{Composição do destilado (massa de etanol): }x_D=0{,}85 \\\ &\text{Composição do fundo (massa de etanol): }x_B=0{,}02\\ \text{(máximo)} \\\ &\text{Estado da alimentação: líquido saturado (logo }q=1\text{)} \\\ &\text{Pressão: }101{,}32\\ \text{kPa (≈ 1 atm)} \\\ &\text{Condensador: condensador total (todo vapor condensado).} \end{aligned}ãçãçãçãçãçãáçãíã
Perguntas (o que precisamos calcular):
a) As quantidades de destilado D e produto de fundo B em \mathrm{kg/h}.
b) A razão de refluxo mínima R_{\min} a partir dos dados de entalpia–concentração do sistema.
c) O número aproximado de estágios teóricos quando a razão de refluxo utilizada é R = 2 R_{\min}.
d) Os requerimentos energéticos do condensador e do refervedor (potências térmicas, em \mathrm{kW} ou \mathrm{kJ/h}, conforme tabela/convenção), isto é, as cargas térmicas que devem ser providas/removidas.
Observação importante: para os itens (b), (c) e (d) o enunciado cita explicitamente “a partir dos dados de entalpia–concentração do sistema”. Esses dados (tabelas ou diagramas h–x, curvas de equilíbrio líquido–vapor y(x) ou entalpias das fases para várias composições e temperaturas) NÃO foram fornecidos no enunciado que recebi. Algumas partes podem ser respondidas sem esses dados (por isso eu já resolvo a letra a). Para as outras letras eu vou explicar passo a passo o método exato que você deve aplicar quando tiver essas curvas/tabelas; e explicarei por que não dá para calcular numericamente sem elas.

Passo 2

Resolução da letra (a): balanços de matéria (massa total e componente).
Conservação de massa total:
F = D + B.
Conservação da massa de etanol:
F z_F = D x_D + B x_B.
Substituindo os valores conhecidos:
\begin{aligned} 10000 &= D + B,\\[4pt] 10000\cdot 0{,}60 &= D\cdot 0{,}85 + B\cdot 0{,}02. \end{aligned}
Faço a álgebra: da primeira equação B = 10000 - D. Substituo na segunda:
10000\cdot 0{,}60 = 0{,}85D + 0{,}02(10000 - D).
Calculo o lado esquerdo e distribuo:
6000 = 0{,}85D + 200 - 0{,}02D.
Junto os termos em D:
6000 = (0{,}85 - 0{,}02)D + 200 = 0{,}83D + 200.
Isolo D:
0{,}83D = 6000 - 200 = 5800,
D = \frac{5800}{0{,}83} \approx 6987{,}9518\\ \text{kg/h}.
Arredondando de forma prática para a prova:
D \approx 6988\\ \text{kg/h}.
E então B = 10000 - D \approx 3012\\ \text{kg/h}.
Interpretação rápida e encorajamento: olha só — já conseguimos a letra (a) com duas equações simples. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo!]

Passo 3

Letra (b): por que NÃO posso calcular numericamente R_{\min} com os dados que você me deu — e como calcular quando você tiver os dados.
Por que não dá para calcular numérico agora:
  • O enunciado pede explicitamente “a partir dos dados de entalpia–concentração do sistema”. Esses dados (curvas h vs x, e também a curva de equilíbrio líquido–vapor y = y(x) para as condições de pressão) NÃO foram enviados. O cálculo numérico de R_{\min} exige conhecer a curva de equilíbrio (ou a função y_\text{eq}(x)) e/ou o diagrama entalpia–concentração (método de Ponchon–Savarit). Sem essas curvas/tabelas, não há como obter um valor numérico confiável.
  • Portanto, eu não posso inventar números. Vou explicar O MÉTODO passo a passo — assim, quando você tiver as curvas/tabelas, aplica na prova ou no exercício e resolve rápido.
Método 1 (McCabe–Thiele, forma algébrica do tangente): conceito e passos
  • Conceito: o refluxo mínimo R_{\min} corresponde à situação em que a reta operadora da parte retificadora é tangente à curva de equilíbrio y_\text{eq}(x) (isto é, há um “pinch” — toquinho — entre a reta e a curva). A reta operadora rectificadora passa por (x_D,x_D) (porque no condensador total vapor condensado tem y=x naquele ponto) e tem inclinação m=\dfrac{R}{R+1}.
  • Equação da reta operadora da seção rectificadora:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
  • Para o caso de tangência em x=x^*, as duas condições são válidas simultaneamente:
\begin{aligned} y_\text{eq}(x^*) &= m x^* + \frac{x_D}{R+1},\\[4pt] \frac{d y_\text{eq}}{dx}\bigg|_{x^*} &= m = \frac{R}{R+1}. \end{aligned}
  • A partir dessas duas equações você resolve para x^* e m (ou para R). Em suma, precisa de y_\text{eq}(x) e sua derivada (ou montar numericamente e achar o ponto de tangência). Procedimento passo a passo:
    1. A partir dos dados de equilíbrio (tabela x vs y ou curva contínua), calcule numericamente a derivada \mathrm{d}y_\text{eq}/\mathrm{d}x ao longo do intervalo x_B a x_D.
    2. Para cada possível x no intervalo, calcule m(x)=\mathrm{d}y_\text{eq}/\mathrm{d}x. Forme a reta com inclinação m(x) passando por (x_D,x_D): y = m(x)\,x + x_D(1-m(x)).
    3. Verifique onde essa reta toca a curva de equilíbrio (isto é, resolva y_\text{eq}(x) = m(x)\,x + x_D(1-m(x))). O ponto de tangência é aquele que satisfaz ambas as condições num mesmo x.
    4. A partir de m calcule R_{\min} = \dfrac{m}{1-m}.
  • Observação: se não encontrar tangência interior, revise intervalo ou use método gráfico McCabe–Thiele (desenhar as curvas e traçar a reta tangente). Mas sempre precisa dos dados de equilíbrio.
Método 2 (Ponchon–Savarit / diagrama entalpia–concentração) — por que o enunciado menciona entalpia–concentração:
  • Em sistemas não ideais (etanol–água é não ideal), o método de Ponchon–Savarit usa um diagrama entalpia h versus concentração x para as fases líquida e vapor, permitindo construir as operações entálpicas e obter a mesma tangência (mínimo de refluxo) de maneira termodinâmica.
  • Como usar o diagrama h x:
    1. A partir dos dados constrói-se as curvas h_L(x) (entalpia do líquido saturado contra x) e h_V(y) (entalpia do vapor saturado contra y), ou um diagrama comum onde se plotam h vs composição com linhas de equilíbrio conectando x a y.
    2. No diagrama traça-se a linha de operação entálpica correspondente à razão de refluxo; o refluxo mínimo ocorre quando a construção geométrica correspondente toca a curva de equilíbrio — é análogo ao tangente do McCabe–Thiele mas no espaço h x.
  • Para aplicar isso numericamente você precisa das tabelas/curvas h_L(x) e h_V(y) e dos pontos de equilíbrio (ou informações termodinâmicas para calcular essas grandezas).
Resumo do que falta e o que apresentar para obter R_{\min} numérico:
  • Entregar a curva de equilíbrio y_\text{eq}(x) (ou tabela de pares x,y à pressão dada) e/ou tabelas h_L(x) e h_V(y). Com essas informações eu aplico o procedimento acima e mando o número de R_{\min}.]

Passo 4

Letra (c): o número aproximado de estágios teóricos quando R=2R_{\min}. Por que não dá para calcular o número exato agora — e como proceder na prova (passo a passo).
Por que não posso dar um número agora:
  • Para achar o número de estágios teóricos (N) precisamos conhecer a curva de equilíbrio y_\text{eq}(x) e o valor numérico de R_{\min} (obtido no passo anterior). Sem y_\text{eq}(x) ou R_{\min} numérico não há como traçar ou computar os degraus (staircase) do McCabe–Thiele nem aplicar correlações numéricas.
Método prático recomendado (McCabe–Thiele) — passo a passo que você deve usar na prova:
  1. Com a curva de equilíbrio y_\text{eq}(x) plotada no gráfico y vs x, marque o ponto (x_D,x_D) e o ponto (x_B,x_B).
  2. Compute o q-line. Para alimentação saturada líquida q=1, a q-line é vertical em x=z_F. (Dica: isso simplifica a construção gráfica).
  3. Com o valor de R escolhido (aqui R=2R_{\min}), forme a reta operadora da seção rectificadora:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
  1. Determine o ponto de interseção entre a reta operadora rectificadora e a q-line; a partir desse ponto você traça a reta operadora da seção de estripagem (a que liga ao ponto (x_B,x_B); ela é obtida unindo o ponto de interseção com (x_B,x_B)).
  2. A partir do ponto (x_D,x_D) faz-se o procedimento “passo a passo” (dois passos por estágio): horizontal até curva de equilíbrio, vertical até a reta operadora, e repete até alcançar x_B. Cada par (horizontal + vertical) corresponde a um estágio teórico. Conte quantos estágios são necessários; esse será N.
  3. Se quiser um método rápido aproximado sem fazer o gráfico à mão, pode usar a correlação de Gilliland que relaciona N com R/R_{\min}: define-se os parâmetros reduzidos
X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1},\qquad Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1},
onde N_{\min} é o número mínimo de estágios no refluxo infinito (obtido pela equação de Fenske caso se conheça a volatividade média). A correlação de Gilliland (usualmente usada graficamente ou por fórmulas ajustadas) fornece uma relação entre X e Y. Mas para usar Gilliland você precisa de N_{\min} que por sua vez precisa da volatividade relativa média \alpha ou dos dados de equilíbrio. Logo: de novo, falta a curva/dados.
Resumo prático para a prova:
  • Se tiver a curva y_\text{eq}(x): use McCabe–Thiele e conte estágios (método direto, sem erro de correlação).
  • Se não puder desenhar, e tiver \alpha aproximadamente constante, você pode:
    1. Usar a equação de Fenske para N_{\min} (refluxo infinito),
    2. Calcular R_{\min} (por tangência),
    3. Aplicar Gilliland para obter N para R=2R_{\min}.
      Mas tudo isso exige dados de equilíbrio ou volatividade média — que não tenho aqui.

Passo 5

Letra (d): requisitos energéticos do condensador e do refervedor — explico as equações de balanço de energia e como calcular numericamente quando você tiver os dados de entalpia.
Equações gerais de energia (estado estacionário, sem acumulação):
  • Considere o balanço de entalpia para toda a coluna (incluindo reboiler e condensador). Em forma simples:
Q_R + F\,h_F = D\,h_D + B\,h_B + Q_C,
onde
\begin{aligned} &Q_R \\ \text{é a potência fornecida ao refervedor (positiva se entra calor)},\\\ &Q_C \\ \text{é a potência removida no condensador (positiva se calor sai do sistema; algumas convenções usam sinal negativo)},\\\ &h_F,\\ h_D,\\ h_B \\ \text{são as entalpias massicas (kJ/kg) da alimentação, do destilado líquido e do fundo líquido, respectivamente.} \end{aligned}éêéêçõãçãíí
  • Rearranjando, se você quiser Q_C isolado:
Q_C = F\,h_F + Q_R - D\,h_D - B\,h_B.
  • Alternativamente, para um condensador total a carga do condensador pode ser calculada diretamente a partir da condensação do vapor que sai do topo:
Q_C = D\left(h_\text{vap, topo} - h_{L,\text{condensado}}\right),
onde h_\text{vap, topo} é a entalpia do vapor que chega ao condensador (kJ/kg) e h_{L,\text{condensado}} é a entalpia do líquido condensado (distillate, frio ou na temperatura de saída).
  • Para o reboiler, a carga necessária é aproximadamente:
Q_R = V_{\text{reb}}\,\lambda_{\text{reb}} + \text{(aquecimento do banho de fundo até a temperatura de ebulição)}.éçã
Mas em termos de entalpias fluxo-entradas/saídas:
Q_R = D\,h_\text{vap, topo} + B\,h_B - F\,h_F - Q_C,
que é apenas rearranjo da equação global.
O que falta para obter números:
  • Para calcular Q_C e Q_R numericamente precisamos das entalpias massicas:
    • h_F: entalpia do líquido saturado na composição z_F (dado que feed é líquido saturado, você precisa da entalpia do líquido saturado nessa composição e temperatura).
    • h_D: entalpia do destilado líquido (condensado) na sua temperatura de saída.
    • h_B: entalpia do fundo líquido na sua temperatura de saída.
    • h_\text{vap, topo}: entalpia do vapor no topo, antes do condensador (isto é geralmente entalpia do vapor saturado à composição de vapor correspondente).
    • Se houver sub-resfriamento ou superaquecimento, esses devem ser incluídos.
  • Essas entalpias normalmente são determinadas a partir das tabelas/diagramas h vs x (entalpia–concentração) ou por correlações termodinâmicas/props (por exemplo, tabelas de propriedades do etanol–água). O enunciado mandou calcular “a partir dos dados de entalpia–concentração”, portanto sem essas tabelas eu não posso dar os números.
  • Uma vez com as entalpias numa mesma base (kJ/kg), aplica-se a equação global para obter Q_R e Q_C. Em provas muitas vezes pedem em kW: lembre-se de converter \mathrm{kg/h} e \mathrm{kJ/kg} para \mathrm{kW} via 1\\ \mathrm{kW} = 3600\\ \mathrm{kJ/h}. Ex.: se obtiver Q_R em kJ/h, divida por 3600 para ficar em kW.
Exemplo simbólico de cálculo (apenas para você ver a forma numérica, não é cálculo com números reais):
\begin{aligned} &Q_R = D\cdot h_{\text{vap,top}} - (F\cdot h_F - B\cdot h_B) - Q_C,\\[4pt] &Q_C = D\cdot\bigl(h_{\text{vap,top}} - h_{L,\text{cond}}\bigr). \end{aligned}
Substitua nas equações as entalpias (obtidas nas tabelas) e faça as contas; está feito o cálculo da potência. Se o enunciado pede valores por hora, mantenha kJ/h; se pede em kW, divida por 3600.]

Passo 6

Resumo prático do que eu preciso de você (ou do enunciado completo) para calcular numericamente (b), (c) e (d), e o que eu faria assim que tiver esses dados:
  • Preciso de uma das seguintes fontes:
    1. Curva de equilíbrio líquido–vapor y_\text{eq}(x) a 101{,}32\\ \text{kPa} (tabela x vs y), e/ou
    2. Tabelas ou diagrama entalpia–concentração h_L(x) e h_V(y) (h–x e h–y) para as condições do processo, ou
    3. Se o exercício fornecer volatividade relativa média \alpha válida no intervalo, posso usar Fenske/Underwood/Gilliland (atalhos) — mas preciso desse \alpha.
  • Assim que eu tiver esses dados eu:
    1. Calculo R_{\min} por tangência (McCabe–Thiele) ou por construção em h x (Ponchon–Savarit) e retorno o valor numérico.
    2. Com R=2R_{\min} traço as linhas operadoras, faço o passo-a-passo McCabe–Thiele e conto N. Ou aplico Gilliland se preferir aproximação.
    3. Extraio entalpias nas composições relevantes ( z_F,x_D,x_B e nos vapores correspondentes) e aplico o balanço de energia para obter Q_C e Q_R. Converto unidades para kW, se for o pedido.

Passo 7

Dicas de prova (como responder rápido se os dados estiverem disponíveis durante o exame)
  • Se receber curva y(x) impressa: desenhe McCabe–Thiele à mão ou use leitura digital; acostume-se a localizar rapidamente o ponto de tangência para Rmin (procure onde a reta de posição passando por (x_D,x_D) com inclinação igual à derivada da curva coincide).
  • Para o número de estágios: desenhe e conte com cuidado; cada estágio é um “L-shaped” (horizontal até a curva de equilíbrio e vertical até a linha operadora).
  • Para cargas térmicas: organize uma pequena tabela com entalpias e vazões (F, D, B) e aplique a equação global de energia; mantenha consistência de unidades (kJ/kg, kg/h → kJ/h → kW).
  • Anote sempre a convenção de sinais (Q_R positivo se calor fornecido ao reboiler) e converta no final.

Resposta

(a) D \approx 6988\\ \mathrm{kg/h},\\ B \approx 3012\\ \mathrm{kg/h}.
(b) Não é possível calcular numericamente R_{\min} sem as curvas/tabelas de equilíbrio y_\text{eq}(x) e/ou os dados de entalpia–concentração h\!-\!x solicitados no enunciado. Procedimento para cálculo: achar a tangência entre a reta operadora rectificadora y=\dfrac{R}{R+1}x+\dfrac{x_D}{R+1} e y_\text{eq}(x); então R_{\min}=\dfrac{m}{1-m} com m sendo a inclinação no ponto de tangência.
(c) Não é possível fornecer número de estágios numérico sem R_{\min} e a curva de equilíbrio y_\text{eq}(x). Procedimento: com R=2R_{\min} traçar as linhas operadoras e contar estágios pelo método de McCabe–Thiele; alternativamente usar a correlação de Gilliland (exigindo N_{\min} e R_{\min}).
(d) Não é possível calcular numericamente Q_C e Q_R sem os dados de entalpia (entalpia do líquido e do vapor nas composições relevantes). Fórmula-chave (global):
Q_R + F h_F = D h_D + B h_B + Q_C,
e para condensador total
Q_C = D\bigl(h_{\text{vap,top}} - h_{L,\text{cond}}\bigr).
Substitua as entalpias das tabelas h x para obter os valores numéricos.

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