Deseja-se dimensionar uma bomba centrífuga para uma instalação predial situado a 600 m de altitude ( Patm / \gamma=9,28 m ), operando a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. A população estimada para efeito de projeto é de 750 pessoas e o consumo diário por pessoa é de 200 \mathrm{~L} / dia. A altura de sucção é de 2,5 \mathrm{~m} e a altura estática de recalque é de 40 m . Considere que a perda de carga na aspiração (sucção) é equivalente a 60 % da altura da sucção e que a perda de carga no recalque é equivalente a 40 % da altura do recalque. Considere ainda que a bomba deve funcionar 6 horas por dia. Pede-se:
38{ }^{_a}) QUESTÃO
  • A vazão necessária da bomba.
  • O diâmetro comercial da linha de recalque e de sucção.
  • A altura manométrica total.
  • Utilizando a Figura 1, determine o modelo da bomba padronizada pelo fabricante;
  • A potência do motor ( \eta m=76 %; \eta b=66,5 % ) em kwatts.
  • Considerando que o NPSH do modelo da bomba escolhida é de 4 m , verifique a possibilidade de cavitação deste sistema de bombeamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada dado matemático entre ...).
Dados fornecidos:
  • População: \,750 pessoas.
  • Consumo diário por pessoa: \,200\\ \text{L/dia}.
  • Tempo de funcionamento da bomba: \,6\\ \text{h/dia}.
  • Altura de sucção (diferença vertical entre superfície livre da fonte e a bomba): \,2{,}5\\ \text{m}.
  • Altura estática de recalque (diferença vertical entre bomba e ponto de descarga): \,40\\ \text{m}.
  • Perda de carga na aspiração: 60\% da altura da sucção.
  • Perda de carga no recalque: 40\% da altura do recalque.
  • Pressão atmosférica expressa em termo de carga: \dfrac{P_{atm}}{\gamma}=9{,}28\\ \text{m} (local de altitude \,600\\ \text{m}).
  • Temperatura de operação: \,15^\circ\text{C} (usa-se para obter a pressão de vapor da água).
  • Eficiências: eficiência da bomba \eta_b=66{,}5\% e eficiência do motor \eta_m=76\%.
  • Foi fornecida uma figura da tubulação (há comprimentos e curvas) — essa figura também foi enviada como imagem.
Perguntas (o enunciado pede):
  1. A vazão necessária da bomba.
  2. O diâmetro comercial da linha de recalque e da sucção.
  3. A altura manométrica total (altura que a bomba deve fornecer).
  4. Usando a “Figura 1”, determinar o modelo da bomba padronizada pelo fabricante.
  5. A potência do motor em kW (considerando \eta_m e \eta_b).
  6. Verificar possibilidade de cavitação, considerando que o NPSH requerido do modelo escolhido é \,4\\ \text{m}.
Observação: a figura do catálogo da bomba (para identificar o modelo) não foi fornecida; por isso, a seleção do modelo não pode ser feita a partir de dados de catálogo ausentes — isso será explicado adiante.

Passo 2

Calcular a vazão necessária passo a passo (explicando a conversão de unidades).
Primeiro, consumo diário total:
\text{Consumo diário} = 750 \times 200\\ \text{L/dia} = 150\,000\\ \text{L/dia}.á
Converter para metros cúbicos por dia:
150\,000\\ \text{L/dia} = 150\\ \text{m}^3/\text{dia}.
Como a bomba opera \,6\\ \text{h/dia}, a vazão média na hora de operação é:
Q = \dfrac{150\\ \text{m}^3}{6\\ \text{h}} = 25\\ \text{m}^3/\text{h}.
Converter para unidades úteis:
25\\ \text{m}^3/\text{h} = \dfrac{25}{3600}\\ \text{m}^3/\text{s} \approx 0{,}0069444\\ \text{m}^3/\text{s}.
E em litros por segundo:
25\\ \text{m}^3/\text{h} = 6{,}944\\ \text{L/s}.
Pequeno resumo pedagógico: para transformar \text{m}^3/\text{h} em \text{m}^3/\text{s} divide-se por 3600. Para transformar litros em m³ divide-se por 1000.

Passo 3

Escolha do critério para dimensionar os diâmetros comerciais e cálculo dos diâmetros teóricos.
Explicação didática: o diâmetro da tubulação é obtido a partir da equação da continuidade
Q = A \cdot v = \left(\dfrac{\pi d^2}{4}\right) v,
onde \,Q é a vazão, \,A é a área da seção (m²), \,v é a velocidade média (m/s) e \,d é o diâmetro (m). Na prática escolhe-se uma velocidade adequada para água potável (menor na sucção para reduzir perdas e evitar problemas de NPSH, um pouco maior no recalque para economizar material). Valores típicos usados em projetos prediais: velocidade na sucção entre \,0{,}8 e \,1{,}2\\ \text{m/s}; no recalque entre \,1{,}0 e \,2{,}0\\ \text{m/s}. Aqui escolho valores conservadores e práticos:
  • Velocidade na sucção v_{suc}=1{,}0\\ \text{m/s} (evita acelerações e ganhos de perda),
  • Velocidade no recalque v_{rec}=1{,}5\\ \text{m/s} (boa prática para água potável).
Cálculo do diâmetro teórico na sucção:
d_{suc} = \sqrt{\dfrac{4Q}{\pi v_{suc}}}.
Substituindo Q=0{,}0069444\\ \text{m}^3/\text{s} e v_{suc}=1{,}0\\ \text{m/s}:
d_{suc} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 0{,}0069444}{\pi\cdot 1{,}0}} \approx 0{,}09405\\ \text{m} = 94{,}1\\ \text{mm}.
Escolha do diâmetro comercial: o valor comercial imediatamente acima é \,100\\ \text{mm} (DN100). Justificativa: na sucção escolhe-se o próximo diâmetro comercial maior para reduzir perdas e preservar NPSH.
Cálculo do diâmetro teórico no recalque:
d_{rec} = \sqrt{\dfrac{4Q}{\pi v_{rec}}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 0{,}0069444}{\pi\cdot 1{,}5}} \approx 0{,}07678\\ \text{m} = 76{,}8\\ \text{mm}.
Escolha do diâmetro comercial: o valor comercial mais próximo é \,80\\ \text{mm} (DN80).
Observação prática: se existirem restrições comerciais/financeiras, poderia optar por DN100 em ambas, mas geometricamente a combinação escolhida (sucção DN100, recalque DN80) é usual e adequada para esta vazão.

Passo 4

Cálculo da altura manométrica total (passo a passo e explicação do conceito).
Definição didática: a altura manométrica total H_{T} que a bomba deve fornecer é a diferença de cota entre o nível médio de sucção e o nível de recalque (altura estática total) somada às perdas de carga nas tubulações (sucção + recalque). Aqui assumimos que a bomba está entre as duas superfícies; portanto a diferença estática total é:
H_{estática} = \text{altura de sucção} + \text{altura de recalque}.áçã
Substituindo:
H_{estática} = 2{,}5\\ \text{m} + 40\\ \text{m} = 42{,}5\\ \text{m}.á
Perdas dadas no enunciado:
h_{f,suc} = 0{,}60 \times 2{,}5\\ \text{m} = 1{,}5\\ \text{m},
h_{f,rec} = 0{,}40 \times 40\\ \text{m} = 16\\ \text{m}.
Assim a altura manométrica total é:
H_{T} = H_{estática} + h_{f,suc} + h_{f,rec} = 42{,}5 + 1{,}5 + 16 = 60{,}0\\ \text{m}.á
Comentário didático: em outros problemas as perdas são calculadas via fator de atrito e somatório de singularidades, mas aqui o enunciado já forneceu percentuais que simplificam o cálculo.

Passo 5

Seleção do modelo da bomba a partir da “Figura 1” (explicação e conclusão sobre impossibilidade se aplicável).
Explicação didática: para escolher o modelo padronizado de uma bomba é necessário confrontar a vazão \,Q e a altura manométrica \,H_T com as curvas de catálogo do fabricante (a chamada “Figura 1” no enunciado). Essas curvas dão, para vários modelos, a faixa de operação (Q versus H) e geralmente indicam o ponto de melhor eficiência.
No enunciado foi pedido para usar a “Figura 1” do fabricante, mas o catálogo/figura com as curvas de desempenho não foi incluído nos documentos recebidos. Portanto:
  • Não é possível determinar o modelo padronizado do fabricante apenas com os dados presentes aqui, porque falta a figura/curva de desempenho do fabricante.
  • Conclusão objetiva: não há informação suficiente para selecionar o modelo; é necessário o catálogo (Figura 1) para fazer essa escolha.

Passo 6

Cálculo das potências (hidráulica, eixo da bomba e motor) com fórmula e explicação.
Fórmulas (explicação passo a passo):
  • Potência hidráulica (potência útil entregue ao fluido):
P_{h} = \rho g Q H_{T},
com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Potência no eixo da bomba (considerando eficiência da bomba \eta_b):
P_{eixo} = \dfrac{P_{h}}{\eta_b}.
  • Potência elétrica do motor (considerando eficiência do motor \eta_m):
P_{motor} = \dfrac{P_{eixo}}{\eta_m} = \dfrac{P_{h}}{\eta_b \eta_m}.
Lembrar de converter para kW dividindo por 1000.
Cálculo numérico:
P_{h} = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}0069444 \times 60 \approx 4\,087{,}5\\ \text{W} = 4{,}0875\\ \text{kW}.
P_{eixo} = \dfrac{4{,}0875}{0{,}665} \approx 6{,}1477\\ \text{kW}.
P_{motor} = \dfrac{6{,}1477}{0{,}76} \approx 8{,}093\\ \text{kW}.
Recomendação prática: escolher um motor comercial com potência nominal imediatamente superior, por exemplo 9\\ \text{kW} (ou conforme disponibilidade padrão e margens de segurança do fabricante).

Passo 7

Verificação da possibilidade de cavitação (cálculo do NPSH disponível) — explicação do conceito e cálculo passo a passo.
Conceito didático: para evitar cavitação o NPSH disponível ( \text{NPSH}_A) deve ser maior que o NPSH requerido pela bomba ( \text{NPSH}_R). A expressão usada aqui (para sucção por tomada direta em reservatório aberto) é:
\text{NPSH}_A = \dfrac{P_{atm}}{\gamma} + z_s - h_{f,suc} - \dfrac{P_v}{\gamma} + \dfrac{v_{suc}^2}{2g},
onde
  • \dfrac{P_{atm}}{\gamma} é a carga atmosférica em metros (fornecida: 9{,}28\\ \text{m}),
  • z_s é a cota da superfície livre da fonte relativa ao centro da bomba (aqui a superfície está 2{,}5\\ \text{m} abaixo da bomba, logo z_s=-2{,}5\\ \text{m}),
  • h_{f,suc} é a perda de carga na sucção (calculada: 1{,}5\\ \text{m}),
  • \dfrac{P_v}{\gamma} é a carga de vapor (pressão de vapor da água a \,15^\circ\text{C}),
  • \dfrac{v_{suc}^2}{2g} é a carga de velocidade na sucção (incluir pois NPSH considera o termo cinético).
Obter o termo da pressão de vapor da água a \,15^\circ\text{C}: a pressão de vapor saturante é aproximadamente p_v \approx 1{,}705\\ \text{kPa}. Em carga (m):
\dfrac{P_v}{\gamma} = \dfrac{1{,}705\\ \text{kPa}}{9{,}81\\ \text{kN/m}^3} \approx 0{,}174\\ \text{m}.
(mais formal: \dfrac{p_v}{\rho g} \approx 0{,}174\\ \text{m}).
Velocidade na sucção v_{suc}=1{,}0\\ \text{m/s}\Rightarrow carga cinética:
\dfrac{v_{suc}^2}{2g} = \dfrac{1{,}0^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 0{,}0510\\ \text{m}.
Agora calcular \text{NPSH}_A:
\text{NPSH}_A = 9{,}28 + (-2{,}5) - 1{,}5 - 0{,}174 + 0{,}051 \approx 5{,}157\\ \text{m}.
Comparação com o requerido: \text{NPSH}_R = 4{,}0\\ \text{m} (dado).
Resultado: \text{NPSH}_A \approx 5{,}16\\ \text{m} > \text{NPSH}_R = 4{,}0\\ \text{m}. Há uma margem de aproximadamente
5{,}157 - 4{,}0 = 1{,}157\\ \text{m}.
Conclusão: com os dados adotados e as escolhas de diâmetro/velocidade, não há risco de cavitação (NPSH disponível suficiente). Recomenda-se, na prática, confirmar com o fabricante a sensibilidade à cavitação e manter margem de segurança adicional se houver variações operacionais.

Passo 8

Resumo final e recomendações práticas (breves, o que substituiríamos na prova se pedissem justificativa).
  • Vazão calculada diretamente a partir do consumo e horário de operação.
  • Diâmetros escolhidos com base em velocidades típicas de projeto (expliquei por que escolhi v_{suc} e v_{rec}); em prova, se o enunciado aceitar, usar esses valores e indicar a justificativa.
  • Altura total obtida somando a altura estática total e as perdas fornecidas.
  • Não foi possível selecionar o modelo padronizado da bomba porque a Figura 1 do fabricante (catálogo) não foi fornecida.
  • Potência do motor obtida a partir da potência hidráulica dividida pelas eficiências sucessivas.
  • NPSH disponível calculado e comparado com o NPSH requerido — verificação de cavitação concluída: não haverá cavitação segundo os dados.

Resposta

Q = 25\\ \text{m}^3/\text{h} = 0{,}0069444\\ \text{m}^3/\text{s} \approx 6{,}944\\ \text{L/s}.
Diâmetros comerciais: linha de sucção \Rightarrow \text{DN}100 (100 mm); linha de recalque \Rightarrow \text{DN}80 (80 mm).
Altura manométrica total: H_T = 60{,}0\\ \text{m}.
Modelo da bomba: não é possível determinar — falta a “Figura 1” (catálogo/curvas) do fabricante.
Potência: potência hidráulica P_h \approx 4{,}0875\\ \text{kW}; potência no eixo P_{eixo}\approx 6{,}1477\\ \text{kW}; potência do motor P_{motor}\approx 8{,}093\\ \text{kW} (recomendar motor comercial \approx 9\\ \text{kW}).
Cavitação: \text{NPSH}_A \approx 5{,}16\\ \text{m} > \text{NPSH}_R = 4{,}0\\ \text{m}. Não há possibilidade de cavitação com os dados e escolhas adotadas (margem \approx 1{,}16\\ \text{m}).

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