Uma lata de cerveja inicialmente a
é colocada em um refrigerador com ar a
. Quanto tempo leva para resfriar a lata de cerveja para
? Considere as propriedades da cerveja as mesmas da água (
, e
. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O valor do coeficiente de transferência de calor do ar é
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Objetivo: determinar o tempo necessário para que a lata passe de
para quando colocada em um refrigerador a . - Propriedades (consideradas iguais às da água; peguei do enunciado):
- densidade:
, - calor específico:
, - condutividade térmica:
.
- densidade:
- Geometria da lata (peguei do enunciado):
- altura:
, - diâmetro:
.
- altura:
- Coeficiente de convecção do ar (peguei do enunciado):
. - Temperaturas:
- inicial:
, - ambiente (ar do refrigerador):
, - alvo:
.
- inicial:
O enunciado pede somente o tempo
necessário para a lata atingir
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (passo didático).
Quando um sólido ou fluido aquecido é resfriado por convecção na superfície, podemos modelar a variação de temperatura no tempo de duas maneiras principais:
Quando um sólido ou fluido aquecido é resfriado por convecção na superfície, podemos modelar a variação de temperatura no tempo de duas maneiras principais:
- Método “lumped capacitance” (corpo a temperatura uniforme variando no tempo): válido quando a resistência térmica interna (condução dentro do corpo) é muito menor que a resistência por convecção na superfície. Critério prático: número de Biot
. - Solução de condução transiente (não uniforme), que exige resolver equações de difusão (soluções com autovalores, funções de Bessel etc. para cilindro) — mais complexo.
Vou calcular o número de Biot para decidir se o método lumped é aceitável. Se
for pequeno (próximo ou abaixo de
), uso lumped; se for bem maior, teria que usar a solução de condução transiente completa.
Definições:
- volume da lata:
, - área externa da lata exposta ao ar:
, - comprimento característico para Biot:
, - Biot:
.
Vou calcular
,
,
e
numericamente no próximo passo.
Passo 3
Cálculo do volume, área superficial, massa e comprimento característico.
Volume do cilindro:
Calcule passo a passo:
Massa da cerveja (assumindo
):
Área superficial externa da lata (cilindro com tampas):
- área lateral:
, - duas bases (topo e fundo):
,
Comprimento característico:
Número de Biot:
Calcule:
Interpretação:
é ligeiramente maior que o limite conservador
. Isso indica que a suposição de temperatura uniforme na cerveja é uma aproximação com erro moderado; porém, como
está próximo de
, o método lumped costuma fornecer uma estimativa razoável e simples para tempo de resfriamento. Vou proceder com o método “lumped capacitance” e explico a fórmula e sua aplicação. Se fosse necessário altíssima precisão, deveríamos usar a solução transiente de condução para cilindro (muito mais trabalhoso).
Passo 4
Derivação e aplicação da solução lumped capacitance (aula rápida e prática).
Equilíbrio de energia para o corpo assumido isoterma internamente:
Isto é uma ODE linear de primeira ordem. Separando variáveis e integrando:
Integrando de
(com
) até
(com
):
Daí a solução:
Queremos
tal que
. Reorganizando para
:
Substituindo valores (todos peguei/calculados nos passos anteriores):
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
Calcule primeiro
e
:
Agora a razão:
Fator no logaritmo:
Finalmente:
Converter para horas/minutos:
Passo 5
Interpretação final e observações pedagógicas (motivação e limites da aproximação).
- Resultado: o tempo estimado para a lata chegar a
é de aproximadamente (cerca de , ou ). - Observação sobre validade: como
está ligeiramente acima do critério estrito , a suposição de temperatura uniforme é uma aproximação. Espera-se que o erro na estimativa de tempo não seja enorme (talvez algumas dezenas de porcento), mas se for necessário maior rigor dever-se-ia resolver a equação de difusão transiente para um cilindro com condição de convecção na superfície (envolvendo autovalores e funções de Bessel) — procedimento mais complexo e raramente exigido em provas introdutórias. - Dica prática para prova: sempre calcule o número de Biot primeiro; se for < 0,1 use lumped capacitance (fórmula exponencial simples) — é uma técnica rápida e frequentemente suficiente.