Uma lata de cerveja inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C} é colocada em um refrigerador com ar a 0^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo leva para resfriar a lata de cerveja para 7^{\circ} \mathrm{C} ? Considere as propriedades da cerveja as mesmas da água ( \rho=1000 \mathrm{kg} / \mathrm{m} 3, \mathrm{cp}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}, e \left.\mathrm{K}=0,61 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}\right). A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O valor do coeficiente de transferência de calor do ar é 4,73 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Objetivo: determinar o tempo necessário para que a lata passe de \,20^\circ\mathrm{C}\, para \,7^\circ\mathrm{C}\, quando colocada em um refrigerador a \,0^\circ\mathrm{C}\,.
  • Propriedades (consideradas iguais às da água; peguei do enunciado):
    • densidade: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • calor específico: c_{p}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},
    • condutividade térmica: k=0,61\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
  • Geometria da lata (peguei do enunciado):
    • altura: h=0,20\\ \mathrm{m},
    • diâmetro: D=0,07\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de convecção do ar (peguei do enunciado): h=4,73\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)}.
  • Temperaturas:
    • inicial: T_{0}=20^\circ\mathrm{C},
    • ambiente (ar do refrigerador): T_{\infty}=0^\circ\mathrm{C},
    • alvo: T(t)=7^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede somente o tempo t necessário para a lata atingir 7^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (passo didático).
Quando um sólido ou fluido aquecido é resfriado por convecção na superfície, podemos modelar a variação de temperatura no tempo de duas maneiras principais:
  • Método “lumped capacitance” (corpo a temperatura uniforme variando no tempo): válido quando a resistência térmica interna (condução dentro do corpo) é muito menor que a resistência por convecção na superfície. Critério prático: número de Biot \mathrm{Bi}<0,1.
  • Solução de condução transiente (não uniforme), que exige resolver equações de difusão (soluções com autovalores, funções de Bessel etc. para cilindro) — mais complexo.
Vou calcular o número de Biot para decidir se o método lumped é aceitável. Se \mathrm{Bi} for pequeno (próximo ou abaixo de 0,1), uso lumped; se for bem maior, teria que usar a solução de condução transiente completa.
Definições:
  • volume da lata: V,
  • área externa da lata exposta ao ar: A,
  • comprimento característico para Biot: L_{c} = V/A,
  • Biot: \displaystyle \mathrm{Bi}=\frac{h\,L_{c}}{k}.
Vou calcular V, A, L_c e \mathrm{Bi} numericamente no próximo passo.

Passo 3

Cálculo do volume, área superficial, massa e comprimento característico.
Volume do cilindro:
V = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2} h = \pi \left(\frac{0,07}{2}\right)^{2} \cdot 0,20.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{0,07}{2}\right)^{2} = 0,035^{2} = 0,001225,
V = \pi \cdot 0,001225 \cdot 0,20 = \pi \cdot 0,000245 = 0,0007697\\ \mathrm{m^{3}}\\ (\text{aprox.}).
Massa da cerveja (assumindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
m=\rho V = 1000 \cdot 0,0007697 = 0,7697\\ \mathrm{kg} \\ (\approx 0,77\\ \mathrm{kg}).
Área superficial externa da lata (cilindro com tampas):
  • área lateral: A_{lat}=\pi D h = \pi \cdot 0,07 \cdot 0,20 = 0,04398\\ \mathrm{m^{2}},
  • duas bases (topo e fundo): A_{bases}=2\pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2} = 2\pi \cdot 0,001225 = 0,007693\\ \mathrm{m^{2}},
A = A_{lat}+A_{bases} = 0,04398 + 0,007693 = 0,051673\\ \mathrm{m^{2}}.
Comprimento característico:
L_{c}=\frac{V}{A}=\frac{0,0007697}{0,051673}=0,01489\\ \mathrm{m}\\ (\approx 1,49\\ \mathrm{cm}).
Número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{4,73 \cdot 0,01489}{0,61}.
Calcule:
4,73\cdot0,01489 = 0,07038,\qquad \mathrm{Bi}=\frac{0,07038}{0,61}=0,1154\\ (\approx 0,115).
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx 0,115 é ligeiramente maior que o limite conservador 0,1. Isso indica que a suposição de temperatura uniforme na cerveja é uma aproximação com erro moderado; porém, como \mathrm{Bi} está próximo de 0,1, o método lumped costuma fornecer uma estimativa razoável e simples para tempo de resfriamento. Vou proceder com o método “lumped capacitance” e explico a fórmula e sua aplicação. Se fosse necessário altíssima precisão, deveríamos usar a solução transiente de condução para cilindro (muito mais trabalhoso).

Passo 4

Derivação e aplicação da solução lumped capacitance (aula rápida e prática).
Equilíbrio de energia para o corpo assumido isoterma internamente:
m c_{p}\frac{dT}{dt} = -h A \left(T(t)-T_{\infty}\right).
Isto é uma ODE linear de primeira ordem. Separando variáveis e integrando:
\frac{dT}{T-T_{\infty}} = -\frac{hA}{m c_{p}}\,dt.
Integrando de t=0 (com T=T_{0}) até t (com T=T(t)):
\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}\right) = -\frac{hA}{m c_{p}}\,t.
Daí a solução:
T(t)=T_{\infty} + \left(T_{0}-T_{\infty}\right)\exp\!\left(-\frac{hA}{m c_{p}}\,t\right).
Queremos t tal que T(t)=7^\circ\mathrm{C}. Reorganizando para t:
t = -\frac{m c_{p}}{h A}\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}\right).
Substituindo valores (todos peguei/calculados nos passos anteriores):
  • m=0,7697\\ \mathrm{kg},
  • c_{p}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},
  • h=4,73\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)},
  • A=0,051673\\ \mathrm{m^{2}},
  • T_{0}-T_{\infty}=20-0=20\\ ^\circ\mathrm{C},
  • T(t)-T_{\infty}=7-0=7\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule primeiro m c_{p} e hA:
m c_{p} = 0,7697 \cdot 4180 = 3217,35\\ \mathrm{J/^\circ C}.
hA = 4,73 \cdot 0,051673 = 0,24438\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Agora a razão:
\frac{m c_{p}}{hA} = \frac{3217,35}{0,24438} = 13166\\ \mathrm{s}\\ (\text{constante de tempo adimensional}).
Fator no logaritmo:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}=\frac{7}{20}=0,35.
\ln(0,35) = -1,0498\\ (\text{aprox.}).
Finalmente:
t = -13166 \cdot (-1,0498) = 13166 \cdot 1,0498 = 13827\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).
Converter para horas/minutos:
13827\\ \mathrm{s} \div 3600 = 3,84\\ \mathrm{h} \approx 3\\ \mathrm{h}\\\ 50\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Interpretação final e observações pedagógicas (motivação e limites da aproximação).
  • Resultado: o tempo estimado para a lata chegar a \,7^\circ\mathrm{C}\, é de aproximadamente \,1,38\times10^{4}\\ \mathrm{s} (cerca de \,3,84\\ \mathrm{h}, ou \,3\\ \mathrm{h}\\\ 50\\ \mathrm{min}).
  • Observação sobre validade: como \mathrm{Bi}\approx 0,115 está ligeiramente acima do critério estrito \mathrm{Bi}<0,1, a suposição de temperatura uniforme é uma aproximação. Espera-se que o erro na estimativa de tempo não seja enorme (talvez algumas dezenas de porcento), mas se for necessário maior rigor dever-se-ia resolver a equação de difusão transiente para um cilindro com condição de convecção na superfície (envolvendo autovalores e funções de Bessel) — procedimento mais complexo e raramente exigido em provas introdutórias.
  • Dica prática para prova: sempre calcule o número de Biot primeiro; se for < 0,1 use lumped capacitance (fórmula exponencial simples) — é uma técnica rápida e frequentemente suficiente.

Resposta

t \approx 1,38\times10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 3,84\\ \mathrm{h} \approx 3\\ \mathrm{h}\\\ 50\\ \mathrm{min}

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