1. Deseja-se projetar uma coluna de destilação para separar uma mistura binária de \mathrm{A}+\mathrm{B} à pressão de 1 atm . A tabela abaixo fornece os requisitos necessários para os produtos e carga. O componente mais leve é A.
    A coluna estará equipada com um condensador total e o produto de fundo deixa o refervedor. Vazões molares podem ser assumidas constantes e a volatilidade relativa igual a 2,5 considerada constante nesta faixa de separação. Determine o número de estágios reais desta coluna usando a Eficiência de Murphree dado que a eficiência por estágio é de 70% \left(\eta_{M}\right).
Correntes Condição térmica Vazão Molar [mols/s] Fração Molar de A
Carga 1 \beta=0,1 400 0.50
Carga 2 Líq. Saturado 200 0.30
Produto de Topo Liq. Saturado 150 0.96
Produto de Fundo Liq.Saturado 0.04
Subproduto Liq. Saturado 0.70

Passo 1

O enunciado pede que se determine o número de estágios reais da coluna, sabendo que ela tem condensador total e o produto de fundo sai pelo refervedor, que a volatilidade relativa é constante e igual a 2,5 e que a eficiência de Murphree por estágio é \eta_{M}=70\%.
Dados (retirados do enunciado):
  • Carga 1: condição térmica \beta=0,1, vazão F_1=400\\ \mathrm{mol/s}, fração molar de A x_{F1}=0,50.
  • Carga 2: líquido saturado, vazão F_2=200\\ \mathrm{mol/s}, fração molar de A x_{F2}=0,30.
  • Produto de topo (destilado): líquido saturado, vazão D=150\\ \mathrm{mol/s}, fração molar de A x_{D}=0,96.
  • Produto de fundo: líquido saturado, fração molar de A x_{B}=0,04 (vazão desconhecida).
  • Subproduto (side draw): líquido saturado, fração molar de A x_{S}=0,70 (vazão desconhecida).
  • Volatilidade relativa constante: \alpha=2,5.
  • Vazões molares assumidas constantes ao longo da coluna.
  • Eficiência de Murphree por estágio: \eta_{M}=0,70.
O que o enunciado pede explicitamente:
  • Determinar o número de estágios reais da coluna (considerando a eficiência de Murphree dada).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as vazões desconhecidas do subproduto S e do fundo B usando balanços de matéria (total e do componente A). Isso é necessário porque a presença do subproduto fixa composições e as vazões influenciam o balanço de A.
Equações de balanço:
  1. Balanço total:
F_1 + F_2 = D + S + B
Substituindo números:
400 + 200 = 150 + S + B \quad\Rightarrow\quad S + B = 450.
  1. Balanço de A:
F_1 x_{F1} + F_2 x_{F2} = D x_{D} + S x_{S} + B x_{B}.
Substituindo números:
400\cdot 0,50 + 200\cdot 0,30 = 150\cdot 0,96 + 0,70S + 0,04B.
Calcule os termos conhecidos:
200 + 60 = 144 + 0,70S + 0,04B \quad\Rightarrow\quad 260 = 144 + 0,70S + 0,04B.
Isolando os termos com S e B:
0,70S + 0,04B = 116.
Usando B = 450 - S (da equação total) na equação acima:
0,70S + 0,04(450 - S) = 116.
Desenvolvendo:
0,70S + 18 - 0,04S = 116 \quad\Rightarrow\quad 0,66S = 98.
Portanto:
S = \frac{98}{0,66} \approx 148,4848\\ \mathrm{mol/s}.
E
B = 450 - S \approx 301,5152\\ \mathrm{mol/s}.
(Arredondar as vazões para fins práticos: S\approx148,48\\ \mathrm{mol/s} e B\approx301,52\\ \mathrm{mol/s}.)

Passo 3

Estratégia de separação em duas seções:
  • Como há um subproduto (side draw) com composição x_S, a coluna pode ser vista como duas seções independentes em termos de equilíbrio:
    • seção retificadora (acima do ponto de retirada do subproduto): separa x_S do destilado x_D;
    • seção de stripping (abaixo do ponto de retirada): separa x_B do subproduto x_S.
Para calcular o número mínimo de estágios teóricos (em refluxo total) em cada seção usamos a fórmula de Fenske para colunas binárias com volatilidade relativa constante.
Fórmula de Fenske (número mínimo de pratos teóricos a refluxo total entre duas correntes de composições x_{\text{top}} e x_{\text{bot}}):
N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_{\text{top}}/(1-x_{\text{top}})}{x_{\text{bot}}/(1-x_{\text{bot}})}\right)}{\ln(\alpha)}.
Explicação curta das variáveis:
  • x_{\text{top}} é a fração molar do componente mais volátil (A) no ponto superior da seção (por exemplo x_D para a seção retificadora);
  • x_{\text{bot}} é a fração molar de A no ponto inferior da seção (por exemplo x_S para a seção retificadora);
  • \alpha é a volatilidade relativa constante =\dfrac{K_A/K_B}{\\ } (já dada como 2,5);
  • N_{\min} é o número mínimo de pratos teóricos entre essas duas correntes quando se opera a refluxo total (situação de máxima separação por estágio).
Usamos essa fórmula separadamente para a seção retificadora (entre x_D e x_S) e para a seção de stripping (entre x_S e x_B), e depois somamos os números de pratos teóricos.

Passo 4

Cálculo do número teórico mínimo na seção retificadora (entre x_D=0,96 e x_S=0,70).
Calcule as razões odds (razão A/ B):
\frac{x_D}{1-x_D}=\frac{0,96}{0,04}=24, \qquad \frac{x_S}{1-x_S}=\frac{0,70}{0,30}=\frac{7}{3}\approx2,333333.
Razão das odds:
\frac{24}{2,333333}\approx 10,285714.
Aplicando Fenske:
N_{r}=\frac{\ln(10,285714)}{\ln(2,5)}.
Calcule os logs:
\ln(10,285714)\approx 2,330735,\qquad \ln(2,5)\approx 0,916291.
Logo:
N_{r}\approx \frac{2,330735}{0,916291}\approx 2,543.
Portanto a seção retificadora necessita de aproximadamente 2,543 pratos teóricos (em refluxo total).

Passo 5

Cálculo do número teórico mínimo na seção de stripping (entre x_S=0,70 e x_B=0,04).
Calcule as razões:
\frac{x_S}{1-x_S}=\frac{0,70}{0,30}\approx 2,333333, \qquad \frac{x_B}{1-x_B}=\frac{0,04}{0,96}=\frac{1}{24}\approx0,0416667.
Razão das odds:
\frac{2,333333}{0,0416667}=56.
Aplicando Fenske:
N_{s}=\frac{\ln(56)}{\ln(2,5)}.
Calcule os logs:
\ln(56)\approx 4,025352,\qquad \ln(2,5)\approx 0,916291.
Logo:
N_{s}\approx \frac{4,025352}{0,916291}\approx 4,395.
Portanto a seção de stripping necessita de aproximadamente 4,395 pratos teóricos.

Passo 6

Número total de estágios teóricos (soma das duas seções):
N_{\text{teóricas}} = N_{r} + N_{s} \approx 2,543 + 4,395 \approx 6,938.ó
Esse é o número de pratos teóricos (em condição de refluxo total) necessários entre o topo e o fundo, considerando o side draw como divisão das duas seções.

Passo 7

Converter pratos teóricos em pratos reais usando a eficiência de Murphree.
Definição prática e uso:
  • A eficiência de Murphree \eta_{M} relaciona o desempenho real de um prato com o ideal em equilíbrio. Como aproximação prática quando a eficiência é aproximadamente constante ao longo da coluna, usa-se:
N_{\text{reais}} \approx \frac{N_{\text{teóricas}}}{\eta_{M}}.ó
Aqui \eta_{M}=0,70 (ou 70\%). Esta é uma aproximação comumente aceita para converter número teórico em número de pratos reais.

Passo 8

Aplicando a relação:
N_{\text{reais}} \approx \frac{6,938}{0,70} \approx 9,9114.
Como o número de estágios reais deve ser um inteiro (não se pode ter fração de prato na prática) e para garantir a especificação de separação normalmente arredonda-se para cima, obtemos:
N_{\text{reais}} \approx 10\\ \text{estágios reais}.á

Passo 9

Resumo rápido do procedimento (para você aplicar em provas):
  • Fazer balanços para encontrar vazões desconhecidas se houver side draw.
  • Tratar a coluna como seccionada pelo side draw: aplicar Fenske separadamente em cada seção para obter o número mínimo de pratos teóricos (refluxo total) entre as composições das extremidades de cada seção.
  • Somar os pratos teóricos das seções.
  • Converter para pratos reais dividindo pela eficiência de Murphree e arredondando para cima.
  • Observação: se a eficiência não for constante, ou se quisessem um refluxo operacional (não total), seria preciso usar métodos como McCabe–Thiele ou Underwood–Gilliland; aqui a hipótese de volatilidade constante e uso de Fenske é adequada.

Resposta

10\\ \text{estágios reais}á

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