Deseja-se transmitir o sinal m(t)=2 \cos (2 \pi 5 k t) utilizando modulação em fase (PM). Para isso, utilizase um modulador PM com fator de sensibilidade do modulador igual à 5 \mathrm{rad} / V, amplitude da portadora igual à 5 , e frequência central de 201,5 \mathrm{kHz}. Determine, para o sinal PM transmitido:
(a) ( 0,5 pontos) a sua potência.
(b) ( 0,5 pontos) suas frequências máximas e mínimas.
(c) ( 0,5 pontos) seu desvio de fase.
(d) ( 0,5 pontos) seu desvio de frequência.
(e) ( 0,5 pontos) sua largura de banda.
(f) ( 1,0 pontos) um possível diagrama de um demodulador para receber o sinal transmitido. Determine todas as equações, no domínio do tempo, em cada parte do sistema proposto, demonstrando a viabilidade do demodulador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei a frequência do sinal modulador da expressão fornecida).
  • Sinal modulador: m(t)=2\cos\bigl(2\pi\;5\,\text{kHz}\;t\bigr).Ou seja, a amplitude máxima de m(t) é A_m=2 (unidades de volt, assumidas) e a frequência do tom modulador é f_m=5\\ \text{kHz}.
  • Modulador PM com sensibilidade: k_p=5\\ \text{rad/V}.
  • Amplitude da portadora: A_c=5\\ \text{(V)}.
  • Frequência central da portadora: f_c=201{,}5\\ \text{kHz}.
O que o enunciado pede:
(a) potência do sinal PM transmitido;
(b) frequências máxima e mínima do sinal transmitido;
(c) desvio de fase (peak);
(d) desvio de frequência (peak);
(e) largura de banda;
(f) um possível diagrama de demodulador e as equações no domínio do tempo em cada parte do sistema, demonstrando a viabilidade.

Passo 2

Escrever a forma do sinal PM e calcular a potência média.
  • A expressão padrão do sinal PM (portadora senoidal com modulação de fase) é s(t)=A_c\cos\bigl(2\pi f_c t + k_p\,m(t)\bigr).Substituindo os valores conhecidos: s(t)=5\cos\bigl(2\pi\,(201{,}5\\ \text{kHz})\,t + 5\,m(t)\bigr).
  • A potência média de uma portadora senoidal de amplitude A_c num circuito de referência (assuma carga unitária 1\\ \Omega se não foi especificada) é P=\frac{A_c^2}{2}.Explicação didática curta: uma senóide A\cos(\cdot) tem valor quadrático médio A^2/2 porque \langle\cos^2\rangle=1/2.
  • Aplicando com A_c=5: P=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5.Unidade: watts (assumindo 1\\ \Omega). Portanto a potência do sinal PM é 12{,}5.

Passo 3

Calcular o desvio de fase (peak) — ou índice de fase \beta.
  • Para PM com m(t) de amplitude A_m, o desvio de fase pico (chamado aqui de \beta) é \beta = k_p A_m.Isso porque a fase adicionada vale k_p m(t) e o pico de |m(t)| é A_m.
  • Aqui A_m=2 e k_p=5, logo \beta = 5\cdot 2 = 10\\ \text{rad}.
  • Interpretação: a fase instantânea varia em torno da portadora com amplitude máxima \pm 10 rad.

Passo 4

Achar a frequência instantânea e o desvio de frequência (peak).
  • A fase instantânea do sinal é \varphi(t)=2\pi f_c t + k_p m(t).Definição: a frequência instantânea f_i(t) é dada por f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\varphi(t)}{dt} = f_c + \frac{k_p}{2\pi}\,m'(t).Isto é geral: qualquer variação da fase produz variação de frequência instantânea.
  • Para o nosso modulador, m(t)=2\cos(2\pi f_m t) com f_m=5\\ \text{kHz}. Diferenciando: m'(t) = -2\cdot 2\pi f_m \sin(2\pi f_m t) = -4\pi f_m \sin(2\pi f_m t).
  • O termo de desvio de frequência instantâneo tem amplitude máxima (valor absoluto máximo) \Delta f = \frac{k_p}{2\pi}\cdot \bigl|\,\text{amplitude de } m'(t)\,\bigr| =\frac{k_p}{2\pi}\cdot 4\pi f_m =2 k_p f_m.Alternativamente escrever em termos de \beta: como \beta=k_p A_m e A_m=2, tem-se \Delta f=\beta f_m. Ambas as fórmulas são equivalentes aqui.
  • Substituindo números: k_p=5, f_m=5\\ \text{kHz}, \Delta f = 2\cdot 5\cdot 5\\ \text{kHz} = 50\\ \text{kHz}.
  • Portanto as frequências máxima e mínima da portadora são f_{\max}=f_c+\Delta f = 201{,}5\\ \text{kHz} + 50\\ \text{kHz} = 251{,}5\\ \text{kHz},
f_{\min}=f_c-\Delta f = 201{,}5\\ \text{kHz} - 50\\ \text{kHz} = 151{,}5\\ \text{kHz}.

Passo 5

Estimar a largura de banda do sinal PM.
  • Método prático (usado em prova): regra de Carson, que dá uma boa estimativa tanto para FM quanto para PM com um tom modulador. A regra de Carson diz \text{BW}_{\text{Carson}}\approx 2\bigl(\Delta f + f_m\bigr),onde \Delta f é o desvio de frequência pico e f_m a maior frequência do modulador.
  • Substituindo \Delta f=50\\ \text{kHz} e f_m=5\\ \text{kHz}: \text{BW}\approx 2(50\\ \text{kHz} + 5\\ \text{kHz}) = 2\cdot 55\\ \text{kHz} = 110\\ \text{kHz}.
  • Observação didática: a análise exata do espectro PM usa expansão em séries de Bessel (cada banda lateral em f_c\pm n f_m tem amplitude A_c J_n(\beta) com \beta=10). Para \beta=10 há muitas componentes não desprezíveis, justificando o uso de Carson para obter uma largura prática.

Passo 6

Propor um demodulador viável e demonstrar por equações no tempo que ele recupera m(t).
Escolha do demodulador: um demodulador coerente em quadratura com detector de fase (atan2) é simples de entender e mostra claramente a recuperação de m(t). Vou descrever o diagrama em blocos e escrever as equações de cada bloco no domínio do tempo.
Diagrama (texto linearizado):
recepção s(t) -> dois misturadores (com \cos 2\pi f_c t e \sin 2\pi f_c t) -> filtros passa-baixa (LPF) -> sinais I(t) e Q(t) -> bloco atan2 -> desambiguação de fase (unwrapping) -> divisão por k_p -> saída \hat m(t).
Agora as equações passo a passo.
  1. sinal recebido (assumimos canal ideal, sem ruído para demonstrar a viabilidade): s(t)=A_c\cos\bigl(2\pi f_c t + k_p m(t)\bigr).
  2. mistura em fase (multiplicador com \cos 2\pi f_c t) seguida de LPF: s(t)\cos(2\pi f_c t) = A_c\cos\bigl(2\pi f_c t + k_p m(t)\bigr)\cos(2\pi f_c t).Usando identidade trigonométrica \cos(a)\cos(b)=\tfrac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)], obtemos s(t)\cos(2\pi f_c t) = \frac{A_c}{2}\cos\bigl(k_p m(t)\bigr) + \frac{A_c}{2}\cos\bigl(4\pi f_c t + k_p m(t)\bigr).O LPF remove o termo de alta frequência \cos(4\pi f_c t + \cdot) e deixa I(t)=\frac{A_c}{2}\cos\bigl(k_p m(t)\bigr).
  3. mistura em quadratura (multiplicador com \sin 2\pi f_c t) seguida de LPF: s(t)\sin(2\pi f_c t) = A_c\cos\bigl(2\pi f_c t + k_p m(t)\bigr)\sin(2\pi f_c t).Usando \cos a\sin b = \tfrac{1}{2}[\sin(b+a)+\sin(b-a)], o LPF (removendo termo em 2f_c) deixa Q(t)=\frac{A_c}{2}\sin\bigl(k_p m(t)\bigr).
  4. montagem do detector de fase: o bloco atan2 calcula a fase instantânea associada a I,Q: \varphi(t)=\operatorname{atan2}\bigl(Q(t),I(t)\bigr).Substituindo I,Q: \varphi(t)=\operatorname{atan2}\!\Bigl(\dfrac{A_c}{2}\sin(k_p m(t)),\dfrac{A_c}{2}\cos(k_p m(t))\Bigr)=k_p m(t),onde se considerou o ramo contínuo da função \operatorname{atan2} (ou seja, aplica-se um algoritmo de unwrapping de fase para remover saltos de 2\pi e obter a fase contínua).
    Observação técnica: \operatorname{atan2} retorna a fase principal; se k_p m(t) excede o intervalo principal, é necessário o unwrapping para reconstruir a fase contínua — aqui \beta=10\\ \text{rad} exige esse cuidado, pois 10 rad >\pi. Em prática isso é feito por um módulo de unwrapping (ver nota abaixo).
  5. recuperar m(t): basta dividir por k_p: \hat m(t)=\frac{\varphi(t)}{k_p}=m(t).
Conclusão da viabilidade: as equações mostram que, com um oscilador local em fase e em quadratura (coerente com a portadora) e LPFs adequados, obtêm-se I e Q que permitem calcular a fase instantânea k_p m(t). Depois de desambiguar a fase (unwrapping) e dividir por k_p recupera-se m(t). Logo o demodulador é funcional em princípio.
Notas práticas e alternativas:
  • Para obter os sinais locais \cos 2\pi f_c t e \sin 2\pi f_c t em fase com a portadora recebida, é preciso um circuito de recuperação de portadora (por exemplo um PLL). Sem sincronismo a etapa de mistura não retorna diretamente \cos(k_p m(t)) e \sin(k_p m(t)).
  • Alternativa mais robusta em presença de grandes desvios de fase/frequência é usar um PLL como demodulador direto: o erro de fase do PLL será aproximadamente k_p m(t) quando o laço estiver travado, e o sinal de controle do VCO (após ganho adequado) é proporcional a m(t). A modelagem do PLL em tempo contínuo confirma que, dentro da faixa linear do laço, a saída do filtro do laço contém uma versão escalada de m(t). Esta alternativa é frequentemente usada em receptores práticos de PM.
  • Em resumo: o diagrama coerente em quadratura + atan2 (com unwrapping) é didaticamente claro e, com recuperação de portadora, viável; o PLL é uma alternativa prática.

Passo 7

Breves observações finais de reforço (ânimo!):
  • Resultados numéricos chave: potência depende apenas de A_c, desvio de fase é k_p A_m, desvio de frequência é \beta f_m e a largura de banda prática pode ser estimada por Carson.
  • Você consegue resolver esse tipo de exercício memorizando as relações: \beta=k_p A_m, \Delta f=\beta f_m, P=A_c^2/2 e \text{BW}\approx 2(\Delta f + f_m). Vai dar certo na prova — respira fundo e repete estes passos.

Resposta

(a) P=\dfrac{A_c^2}{2}=\dfrac{5^2}{2}=12{,}5\\ \text{W} (assumindo carga 1\\ \Omega).
(b) f_{\min}=151{,}5\\ \text{kHz},\qquad f_{\max}=251{,}5\\ \text{kHz}.
(c) desvio de fase pico \beta = k_p A_m = 10\\ \text{rad}.
(d) desvio de frequência pico \Delta f = \beta f_m = 50\\ \text{kHz}.
(e) largura de banda (Carson) \text{BW}\approx 2(\Delta f + f_m)=110\\ \text{kHz}.
(f) Demodulador proposto: detector coerente em quadratura (misturadores com \cos2\pi f_c t e \sin2\pi f_c t) + LPFs → I(t),Q(t) com I=\tfrac{A_c}{2}\cos(k_p m(t)),\\ Q=\tfrac{A_c}{2}\sin(k_p m(t)) \varphi(t)=\operatorname{atan2}(Q,I)=k_p m(t) (com unwrapping) → \hat m(t)=\varphi(t)/k_p. (Equações e demonstração detalhadas nos passos.)

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