( 1,5 pontos) Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas ( 0,15 pontos) e depois justifique sua escolha ( 0,35 pontos):
(a) Em modulações angulares, podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.
(b) A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.
(c) O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.
(a) Em modulações angulares, podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.
(b) A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.
(c) O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das três afirmativas (a), (b) e (c): (i) dizer se é verdadeira ou falsa e (ii) justificar a escolha. Vou listar claramente as três afirmativas que preciso avaliar:
- (a) Em modulações angulares, podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.
- (b) A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.
- (c) O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.
Informações implícitas que vou usar (fornecidas pelo contexto do enunciado):
- “Modulações angulares” refere-se a modulação em frequência (FM) e modulação em fase (PM), em que a amplitude da portadora é mantida constante idealmente.
- Quero justificar cada resposta usando relações matemáticas básicas de FM/PM, e regras práticas de largura de banda (por exemplo, a estimativa de Carson).
Passo 2
Definição e expressões básicas — escrever a forma do sinal modulado e a potência média:
- Um sinal de portadora angularmente modulado tem a forma
onde
é a amplitude da portadora (assumida constante) e
é a fase instantânea, por exemplo
com
representando a variação de fase devido ao sinal de informação. Para FM, a frequência instantânea é
. Para PM,
.
- Potência instantânea e potência média (assumindo impedância de carga
). A potência instantânea é
e a potência média do sinal, ao longo de muitos ciclos, é
assuming the phase
varries enough so that the time average of
is
. Note que essa expressão não contém
(o sinal de informação).
Passo 3
Análise da afirmativa (a): “podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.”
- Primeiro ponto: aumentar a potência transmitida
(por exemplo aumentando ) aumenta a potência média recebida proporcionalmente (descontando perdas de canal). Em notação simples, se o canal tem ganho (incluindo perdas), a potência recebida média é . Logo, o aumento de aumenta . Isso é verdade e óbvio. - Segundo ponto: variar a largura de banda
do sinal modulado NÃO aumenta, em geral, a potência total do sinal transmitido se for mantida constante. A potência total do sinal transmitido é a integral da densidade espectral de potência sobre a banda, mas para modulação angular ideal com amplitude fixa, permanece independentemente de quão espalhado no espectro o sinal esteja. Ou seja, para fixo, aumentar redistribui a potência no espectro (torna o sinal mais largo), mas não eleva a potência total. - Além disso, em termos de recepção prática, aumentar a largura de banda aumenta a potência de ruído recebida (ruído térmico
faz ), logo SNR tende a piorar se a potência de sinal for mantida. Portanto aumentar a largura de banda não é um método para aumentar a potência recebida nem melhorar a razão sinal-ruído; muitas vezes faz o oposto. - Conclusão: a primeira parte da afirmativa (aumentar
) é verdadeira, a segunda parte (aumentar ) como forma de aumentar a potência recebida é falsa. Como a frase afirma ambas as formas como maneiras de aumentar a potência recebida, a afirmativa (a) deve ser considerada falsa.
Passo 4
Explicação adicional simples e exemplo numérico conceitual para (a):
- Suponha
fixo. Se eu dobrar a largura de banda mas mantiver constante, a densidade espectral de potência média do sinal cai (fica mais espalhada). A potência total continua . O ruído, porém, dobra em potência ( ), então SNR cai. Portanto aumentar não aumenta a potência recebida nem a SNR. - Observações de exceção: em alguns esquemas não-ideais (por exemplo usando filtros do receptor ou técnicas de espalhamento onde se aumenta a largura para aproveitar processamento que aumenta a relação sinal/ruído após correlação), o desempenho pode melhorar com largura maior por razões de processamento (pense em CDMA/espalhamento), mas isso não significa que a potência física recebida tenha aumentado; é resultado de ganho de processamento. O enunciado fala genericamente e, assim, a interpretação natural leva à classificação “falsa”.
Passo 5
Análise da afirmativa (b): “A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.”
- Usando a expressão do passo 2, para um sinal angularmente modulado ideal
a amplitude
é constante por definição de modulação angular pura. A potência média do sinal é
que não depende de
nem de
. Portanto, em modulações angulares ideais (FM, PM) a potência transmitida média é constante e independente do conteúdo do sinal de informação.
- Observações práticas: efeitos não lineares no transmissor, clipping, ou modulações que misturam amplitude (ex.: PM com erros de implementação) podem introduzir variações, mas a propriedade teórica básica e a resposta esperada em provas e em teoria de comunicações é que a potência transmitida em FM/PM é constante. Por isso a afirmativa (b) é falsa.
Passo 6
Análise da afirmativa (c): “O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.”
- Vou usar a estimativa prática de largura de banda de Carson para FM/PM com um tom senoidal de mensagem. Para FM com mensagem senoidal
: - Desvio de frequência pico:
. - Índice de modulação:
. - Regra de Carson (estimativa): a largura de banda ocupada é aproximadamente
Note como aparece tanto no denominador de quanto explicitamente no termo da regra de Carson. - Desvio de frequência pico:
- Para PM com a mesma mensagem
: - Desvio de fase pico:
. - A taxa de variação de fase gera desvio de frequência instantâneo proporcional a
; o desvio de frequência pico efetivo para PM é . - Índice de modulação para PM (na prática usado na regra de Carson) é
(observe que não depende de ), e aplicando Carson de forma análoga obtemos
- Desvio de fase pico:
- Comparação do efeito de variar
(mensagem mais rápida): - Em FM: aumentar
(mantendo fixo) reduz mas aumenta o termo em Carson; o efeito sobre é misto e depende dos valores relativos de e . Para sinais onde , é dominado por (pouco sensível a ). Para sinais onde é comparável ou maior, o termo tem mais impacto. - Em PM: aumentar
(mantendo fixo) aumenta linearmente, e portanto aumenta quase proporcionalmente a . Em PM o índice não muda com , mas a frequência de variação causa aumento direto do spread de frequência.
- Em FM: aumentar
- Portanto a dependência da largura de banda em relação à “velocidade” do sinal de informação (
) não é a mesma em FM e PM: a forma exata é diferente (em FM o desvio de frequência não depende de diretamente, em PM o desvio de frequência cresce com ). Logo a afirmativa (c) é falsa.
Passo 7
Exemplo numérico simples para fixar a intuição:
- Tome
e constantes fixos. Suponha e . - Se
: -
. -
.
-
- Se
: -
. -
.
-
- Nesse exemplo, o efeito de aumentar
de para teve impacto diferente para os dois esquemas quando era pequeno; embora em alguns pontos os números coincidam, a dependência funcional é diferente (e depende de ). Em geral, não se pode afirmar que o efeito é “o mesmo” — por isso (c) é falsa. (Este exemplo numérico é só para intuir; as fórmulas utilizadas são as do passo anterior.)
Passo 8
Resumo final das decisões e motivação curta (motivação já desenvolvida acima):
- (a) falsa porque aumentar a largura de banda não aumenta a potência recebida quando a potência transmitida é mantida; aumenta-se a potência recebida apenas aumentando
. - (b) falsa porque, em modulação angular ideal, a potência média transmitida é
, independente do sinal de informação. - (c) falsa porque FM e PM têm dependências diferentes da frequência do sinal de informação sobre o spread espectral; as expressões de desvio e de índice são diferentes, logo a influência de um “sinal mais rápido” não é a mesma em FM e em PM.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa