( 1,5 pontos) Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas ( 0,15 pontos) e depois justifique sua escolha ( 0,35 pontos):
(a) Em modulações angulares, podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.
(b) A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.
(c) O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das três afirmativas (a), (b) e (c): (i) dizer se é verdadeira ou falsa e (ii) justificar a escolha. Vou listar claramente as três afirmativas que preciso avaliar:
  • (a) Em modulações angulares, podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.
  • (b) A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.
  • (c) O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.
Informações implícitas que vou usar (fornecidas pelo contexto do enunciado):
  • “Modulações angulares” refere-se a modulação em frequência (FM) e modulação em fase (PM), em que a amplitude da portadora é mantida constante idealmente.
  • Quero justificar cada resposta usando relações matemáticas básicas de FM/PM, e regras práticas de largura de banda (por exemplo, a estimativa de Carson).

Passo 2

Definição e expressões básicas — escrever a forma do sinal modulado e a potência média:
  • Um sinal de portadora angularmente modulado tem a forma
s(t)=A_c\cos\!\bigl(\theta(t)\bigr),
onde A_c é a amplitude da portadora (assumida constante) e \theta(t) é a fase instantânea, por exemplo
\theta(t)=\omega_c t + \varphi(t),
com \varphi(t) representando a variação de fase devido ao sinal de informação. Para FM, a frequência instantânea é \omega_i(t)=\dfrac{d\theta(t)}{dt}=\omega_c + k_f m(t). Para PM, \varphi(t)=k_p m(t).
  • Potência instantânea e potência média (assumindo impedância de carga R). A potência instantânea é
p(t)=\frac{s^2(t)}{R}=\frac{A_c^2}{R}\cos^2\!\bigl(\theta(t)\bigr),
e a potência média do sinal, ao longo de muitos ciclos, é
P_{\text{avg}}=\frac{1}{T}\int_0^T p(t)\,dt=\frac{A_c^2}{2R},
assuming the phase \theta(t) varries enough so that the time average of \cos^2 is 1/2. Note que essa expressão não contém m(t) (o sinal de informação).

Passo 3

Análise da afirmativa (a): “podemos aumentar a potência do sinal recebido tanto pelo aumento da potência do sinal transmitido quanto pelo aumento da largura de banda do sinal modulado.”
  • Primeiro ponto: aumentar a potência transmitida P_t (por exemplo aumentando A_c) aumenta a potência média recebida proporcionalmente (descontando perdas de canal). Em notação simples, se o canal tem ganho G (incluindo perdas), a potência recebida média é P_r = G P_t. Logo, o aumento de P_t aumenta P_r. Isso é verdade e óbvio.
  • Segundo ponto: variar a largura de banda B do sinal modulado NÃO aumenta, em geral, a potência total do sinal transmitido se P_t for mantida constante. A potência total do sinal transmitido é a integral da densidade espectral de potência sobre a banda, mas para modulação angular ideal com amplitude A_c fixa, P_t permanece \dfrac{A_c^2}{2R} independentemente de quão espalhado no espectro o sinal esteja. Ou seja, para P_t fixo, aumentar B redistribui a potência no espectro (torna o sinal mais largo), mas não eleva a potência total.
  • Além disso, em termos de recepção prática, aumentar a largura de banda aumenta a potência de ruído recebida (ruído térmico N_0 faz P_N = N_0 B), logo SNR tende a piorar se a potência de sinal for mantida. Portanto aumentar a largura de banda não é um método para aumentar a potência recebida nem melhorar a razão sinal-ruído; muitas vezes faz o oposto.
  • Conclusão: a primeira parte da afirmativa (aumentar P_t) é verdadeira, a segunda parte (aumentar B) como forma de aumentar a potência recebida é falsa. Como a frase afirma ambas as formas como maneiras de aumentar a potência recebida, a afirmativa (a) deve ser considerada falsa.

Passo 4

Explicação adicional simples e exemplo numérico conceitual para (a):
  • Suponha P_t fixo. Se eu dobrar a largura de banda B mas mantiver P_t constante, a densidade espectral de potência média do sinal cai (fica mais espalhada). A potência total continua P_t. O ruído, porém, dobra em potência ( P_N = N_0 B), então SNR cai. Portanto aumentar B não aumenta a potência recebida nem a SNR.
  • Observações de exceção: em alguns esquemas não-ideais (por exemplo usando filtros do receptor ou técnicas de espalhamento onde se aumenta a largura para aproveitar processamento que aumenta a relação sinal/ruído após correlação), o desempenho pode melhorar com largura maior por razões de processamento (pense em CDMA/espalhamento), mas isso não significa que a potência física recebida tenha aumentado; é resultado de ganho de processamento. O enunciado fala genericamente e, assim, a interpretação natural leva à classificação “falsa”.

Passo 5

Análise da afirmativa (b): “A potência do sinal transmito em modulações angulares é variável segundo o sinal da informação transmitido.”
  • Usando a expressão do passo 2, para um sinal angularmente modulado ideal
s(t)=A_c\cos\!\bigl(\theta(t)\bigr),
a amplitude A_c é constante por definição de modulação angular pura. A potência média do sinal é
P_{\text{avg}}=\frac{A_c^2}{2R},
que não depende de \theta(t) nem de m(t). Portanto, em modulações angulares ideais (FM, PM) a potência transmitida média é constante e independente do conteúdo do sinal de informação.
  • Observações práticas: efeitos não lineares no transmissor, clipping, ou modulações que misturam amplitude (ex.: PM com erros de implementação) podem introduzir variações, mas a propriedade teórica básica e a resposta esperada em provas e em teoria de comunicações é que a potência transmitida em FM/PM é constante. Por isso a afirmativa (b) é falsa.

Passo 6

Análise da afirmativa (c): “O comportamento oscilatório do sinal da informação (ser um sinal mais rápido ou mais lento) afeta a largura de banda do sinal modulado da mesma maneira nas modulações em frequência e modulações em fase.”
  • Vou usar a estimativa prática de largura de banda de Carson para FM/PM com um tom senoidal de mensagem. Para FM com mensagem senoidal m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t):
    • Desvio de frequência pico: \Delta f_{\text{FM}}=k_f A_m.
    • Índice de modulação: \beta_{\text{FM}}=\dfrac{\Delta f_{\text{FM}}}{f_m}=\dfrac{k_f A_m}{f_m}.
    • Regra de Carson (estimativa): a largura de banda ocupada é aproximadamente
    BW_{\text{FM}}\approx 2\bigl(\Delta f_{\text{FM}} + f_m\bigr)=2\bigl(k_f A_m + f_m\bigr).Note como f_m aparece tanto no denominador de \beta_{\text{FM}} quanto explicitamente no termo +f_m da regra de Carson.
  • Para PM com a mesma mensagem m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t):
    • Desvio de fase pico: \Delta\varphi_{\text{PM}}=k_p A_m.
    • A taxa de variação de fase gera desvio de frequência instantâneo proporcional a f_m; o desvio de frequência pico efetivo para PM é \Delta f_{\text{PM}} \approx k_p f_m A_m.
    • Índice de modulação para PM (na prática usado na regra de Carson) é \beta_{\text{PM}}=\Delta\varphi_{\text{PM}}=k_p A_m (observe que \beta_{\text{PM}} não depende de f_m), e aplicando Carson de forma análoga obtemos
    BW_{\text{PM}}\approx 2\bigl(\Delta f_{\text{PM}} + f_m\bigr)=2\bigl(k_p f_m A_m + f_m\bigr)=2 f_m\bigl(k_p A_m + 1\bigr).
  • Comparação do efeito de variar f_m (mensagem mais rápida):
    • Em FM: aumentar f_m (mantendo A_m fixo) reduz \beta_{\text{FM}}=\dfrac{k_f A_m}{f_m} mas aumenta o termo +f_m em Carson; o efeito sobre BW_{\text{FM}} é misto e depende dos valores relativos de k_f A_m e f_m. Para sinais onde k_f A_m \gg f_m, BW_{\text{FM}} é dominado por 2k_f A_m (pouco sensível a f_m). Para sinais onde f_m é comparável ou maior, o termo f_m tem mais impacto.
    • Em PM: aumentar f_m (mantendo A_m fixo) aumenta \Delta f_{\text{PM}}=k_p f_m A_m linearmente, e portanto BW_{\text{PM}} aumenta quase proporcionalmente a f_m. Em PM o índice \beta_{\text{PM}}=k_p A_m não muda com f_m, mas a frequência de variação causa aumento direto do spread de frequência.
  • Portanto a dependência da largura de banda em relação à “velocidade” do sinal de informação ( f_m) não é a mesma em FM e PM: a forma exata é diferente (em FM o desvio de frequência não depende de f_m diretamente, em PM o desvio de frequência cresce com f_m). Logo a afirmativa (c) é falsa.

Passo 7

Exemplo numérico simples para fixar a intuição:
  • Tome A_m e constantes k_f,k_p fixos. Suponha k_f A_m=10\\ \text{Hz} e k_p A_m=1\\ \text{rad}.
  • Se f_m=1\\ \text{Hz}:
    • BW_{\text{FM}}\approx 2(10+1)=22\\ \text{Hz}.
    • BW_{\text{PM}}\approx 2( k_p f_m A_m + f_m)=2(1\cdot1 +1)=4\\ \text{Hz}.
  • Se f_m=10\\ \text{Hz}:
    • BW_{\text{FM}}\approx 2(10+10)=40\\ \text{Hz}.
    • BW_{\text{PM}}\approx 2(1\cdot10 +10)=40\\ \text{Hz}.
  • Nesse exemplo, o efeito de aumentar f_m de 1 para 10\\ \text{Hz} teve impacto diferente para os dois esquemas quando f_m era pequeno; embora em alguns pontos os números coincidam, a dependência funcional é diferente (e depende de k_f,k_p,A_m). Em geral, não se pode afirmar que o efeito é “o mesmo” — por isso (c) é falsa. (Este exemplo numérico é só para intuir; as fórmulas utilizadas são as do passo anterior.)

Passo 8

Resumo final das decisões e motivação curta (motivação já desenvolvida acima):
  • (a) falsa porque aumentar a largura de banda não aumenta a potência recebida quando a potência transmitida é mantida; aumenta-se a potência recebida apenas aumentando P_t.
  • (b) falsa porque, em modulação angular ideal, a potência média transmitida é \dfrac{A_c^2}{2R}, independente do sinal de informação.
  • (c) falsa porque FM e PM têm dependências diferentes da frequência do sinal de informação sobre o spread espectral; as expressões de desvio e de índice são diferentes, logo a influência de um “sinal mais rápido” não é a mesma em FM e em PM.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa

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