Considere que o sinal m(t)=2 \cos (4 k \pi t) é transmitido por modulação em frequência (FM), com coeficiente de sensibilidade k_{f}=15 k \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} utilizando uma potência transmitida de 50 W . Este sinal é demodulado através do conjunto de um derivador seguido de um detector de envoltória com um filtro passa-baixa, e por fim um DC Blocker. Se a S N R_{\text {pos }} for de 40 d B a PSD do ruído for N_{0} / 2=5 \times 10^{-9} W / H z, determine a S N R_{\text {pre }} desse sinal. Qual a largura de banda que o sinal FM de banda larga possui?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegando literalmente do enunciado):
    • Mensagem m(t)=2\cos(4\,k\pi t).
    • Sensibilidade de frequência k_{f}=15\,k\pi\\ \text{rad/s}.
    • Potência transmitida (portadora) P=50\\ \text{W}.
    • PSD do ruído (valor clássico N_0/2) dada: \dfrac{N_0}{2}=5\times10^{-9}\\ \text{W/Hz}.
    • Resultado pós-detecção informado: \mathrm{SNR}_{\text{pos}}=40\\ \text{dB}.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar \mathrm{SNR}_{\text{pre}} (SNR antes da detecção, ou seja, SNR na entrada do demodulador).
    2. Determinar a largura de banda que o sinal FM de banda larga possui.
Observação importante (interpretação necessária):
  • O enunciado usa o símbolo k em 4\,k\pi e em 15\,k\pi. Isso normalmente indica “kilo” (isto é, k=10^3) em problemas práticos de comunicações para dar frequências em kHz/Hz. Vou adotar essa interpretação (ou seja, k=10^3). Se isso estiver diferente do que o enunciado original queria, os resultados numéricos mudariam; a formulação dos passos vale em qualquer caso, basta substituir k pelo valor apropriado.
    Não perguntei nada adicional porque o enunciado pediu cálculo direto.

Passo 2

Primeiro calcule as quantidades do sinal de mensagem (frequência e amplitude) e a sensibilidade numérica usando k=10^3.
  • A mensagem é m(t)=2\cos(4\,k\pi t). Com k=10^3 temos
    \omega_m = 4\cdot 10^3\pi\\ \text{rad/s}.
    A frequência em hertz da mensagem é
    f_m=\frac{\omega_m}{2\pi}=\frac{4\cdot10^3\pi}{2\pi}=2000\\ \text{Hz}.
    A amplitude da mensagem é A_m=2.
  • A sensibilidade dada é k_f=15\,k\pi\\ \text{rad/s}. Com k=10^3:
    k_f = 15\cdot10^3\pi =15000\pi\\ \text{rad/s per unit of }m.
Expliquei o que significa cada variável:
  • \omega_m é a velocidade angular do tom de mensagem (rad/s).
  • f_m é a frequência em Hz (ciclos por segundo).
  • A_m é a amplitude do tom de mensagem (unidade da mensagem).
  • k_f é sensibilidade em rad/s por unidade de mensagem; a variação instantânea de fase causada por m(t) é integrada por k_f, e a variação instantânea de frequência em rad/s é k_f m(t).

Passo 3

Calcular a desviacão de frequência máxima \Delta f (pico) e usar a regra de Carson para obter a largura de banda aproximada do FM (isso responde à segunda pergunta).
  • A desviacão angular máxima (pico) é
    \Delta\omega = k_f\cdot A_m.
    Substituindo os valores:
    \Delta\omega = (15000\pi)\cdot 2 =30000\pi\\ \text{rad/s}.
  • Converter para desviacão de frequência (Hz):
    \Delta f = \frac{\Delta\omega}{2\pi}=\frac{30000\pi}{2\pi}=15000\\ \text{Hz}.
  • Carson (regra prática para FM) dá a largura de banda aproximada de um FM de banda larga como
    \text{BW}\approx 2(\Delta f + f_m).
    Substituindo \Delta f=15000\\ \text{Hz} e f_m=2000\\ \text{Hz}:
    \text{BW}\approx 2(15000+2000)=2(17000)=34000\\ \text{Hz}=34\\ \text{kHz}.
Breve explicação didática da regra de Carson:
  • A regra de Carson estima a maior parte de energia do sinal FM (cerca de 98%) e é prática: soma a desviacão máxima e a maior frequência do sinal modulador, e multiplica por 2 para considerar ambas as bandas laterais.

Passo 4

Agora vamos calcular \mathrm{SNR}_{\text{pre}}. Vou explicar o que é SNR pré-deteção e a fórmula que usarei.
  • Definição prática: a SNR pré-deteção ( \mathrm{SNR}_{\text{pre}}) é a relação entre a potência da portadora recebida P e a potência de ruído dentro da banda do canal B (aqui, a banda do canal FM). Para ruído AWGN com densidade dupla-lateral S_n(f)=N_0/2 (constante), a potência de ruído na banda [-B/2,B/2] é
    N = N_0 B.
    Assim a SNR pré-deteção em razão é
    \mathrm{SNR}_{\text{pre}}=\frac{P}{N_0 B}.
  • No nosso caso:
    • P=50\\ \text{W}.
    • N_0/2=5\times10^{-9}\\ \text{W/Hz} implica N_0=1\times10^{-8}\\ \text{W/Hz}.
    • A banda do canal B tomamos igual à largura de banda FM calculada pela regra de Carson: B=34000\\ \text{Hz}.
  • Calcule o denominador (ruído na banda):
    N_0 B = (1\times10^{-8})\cdot 34000 = 3{,}4\times10^{-4}\\ \text{W}.
  • Portanto a SNR pré-deteção (razão) é
    \mathrm{SNR}_{\text{pre}}=\frac{50}{3{,}4\times10^{-4}} \approx 147058{,}8235.
  • Em decibéis (usando 10\log_{10}):
    \mathrm{SNR}_{\text{pre,dB}}=10\log_{10}(147058{,}8235)\approx 51{,}7\\ \text{dB}.
Explicação didática do porquê dessa fórmula:
  • O ruído total que “ataca” a portadora é a área da densidade espectral N_0/2 integrada pela banda útil do receptor; para ruído real a integral de \tfrac{N_0}{2} de -B/2 a +B/2 N_0 B. A potêcia de portadora P dividida por essa potência de ruído é a SNR pré-deteção.

Passo 5

Comparação com a SNR pós-deteção e interpretação prática (motivação / checagem rápida).
  • O enunciado informou \mathrm{SNR}_{\text{pos}}=40\\ \text{dB}. Encontramos \mathrm{SNR}_{\text{pre}}\approx 51{,}7\\ \text{dB}. É razoável que a SNR pós-deteção seja menor que a pré-deteção porque o processo de demodulação (derivador + detector de envoltória + filtragem) não é ideal e o ruído é alterado pela diferenciação (a diferenciação realça componentes de alta frequência do ruído). A diferença numérica entre pré e pós (aprox. 11{,}7\\ \text{dB}) é consistente qualitativamente com essa perda; cálculos mais detalhados do ganho/perda real dependem do modelo exato do detector e das bandas dos filtros.

Resposta

\mathrm{SNR}_{\text{pre}}\approx 1{,}4706\times10^{5} (razão) =\;51{,}7\\ \text{dB}\n
\text{BW}_{\text{FM}}\approx 34\\ \text{kHz}

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