Considere que o sinal
é transmitido por modulação em frequência (FM), com coeficiente de sensibilidade
utilizando uma potência transmitida de 50 W . Este sinal é demodulado através do conjunto de um derivador seguido de um detector de envoltória com um filtro passa-baixa, e por fim um DC Blocker. Se a
for de
a PSD do ruído for
, determine a
desse sinal. Qual a largura de banda que o sinal FM de banda larga possui?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos (pegando literalmente do enunciado):
- Mensagem
. - Sensibilidade de frequência
. - Potência transmitida (portadora)
. - PSD do ruído (valor clássico
) dada: . - Resultado pós-detecção informado:
.
- Mensagem
-
O enunciado pede:
- Determinar
(SNR antes da detecção, ou seja, SNR na entrada do demodulador). - Determinar a largura de banda que o sinal FM de banda larga possui.
- Determinar
Observação importante (interpretação necessária):
- O enunciado usa o símbolo
em e em . Isso normalmente indica “kilo” (isto é, ) em problemas práticos de comunicações para dar frequências em kHz/Hz. Vou adotar essa interpretação (ou seja, ). Se isso estiver diferente do que o enunciado original queria, os resultados numéricos mudariam; a formulação dos passos vale em qualquer caso, basta substituir pelo valor apropriado.
Não perguntei nada adicional porque o enunciado pediu cálculo direto.
Passo 2
Primeiro calcule as quantidades do sinal de mensagem (frequência e amplitude) e a sensibilidade numérica usando
.
-
A mensagem é
. Com temos A frequência em hertz da mensagem éA amplitude da mensagem é. -
A sensibilidade dada é
. Com :
Expliquei o que significa cada variável:
-
é a velocidade angular do tom de mensagem (rad/s). -
é a frequência em Hz (ciclos por segundo). -
é a amplitude do tom de mensagem (unidade da mensagem). -
é sensibilidade em rad/s por unidade de mensagem; a variação instantânea de fase causada por é integrada por , e a variação instantânea de frequência em rad/s é .
Passo 3
Calcular a desviacão de frequência máxima
(pico) e usar a regra de Carson para obter a largura de banda aproximada do FM (isso responde à segunda pergunta).
-
A desviacão angular máxima (pico) éSubstituindo os valores:
-
Converter para desviacão de frequência (Hz):
-
Carson (regra prática para FM) dá a largura de banda aproximada de um FM de banda larga comoSubstituindo
e :
Breve explicação didática da regra de Carson:
- A regra de Carson estima a maior parte de energia do sinal FM (cerca de 98%) e é prática: soma a desviacão máxima e a maior frequência do sinal modulador, e multiplica por 2 para considerar ambas as bandas laterais.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Vou explicar o que é SNR pré-deteção e a fórmula que usarei.
-
Definição prática: a SNR pré-deteção (
) é a relação entre a potência da portadora recebida e a potência de ruído dentro da banda do canal (aqui, a banda do canal FM). Para ruído AWGN com densidade dupla-lateral (constante), a potência de ruído na banda é Assim a SNR pré-deteção em razão é -
No nosso caso:
-
. -
implica . - A banda do canal
tomamos igual à largura de banda FM calculada pela regra de Carson: .
-
-
Calcule o denominador (ruído na banda):
-
Portanto a SNR pré-deteção (razão) é
-
Em decibéis (usando
):
Explicação didática do porquê dessa fórmula:
- O ruído total que “ataca” a portadora é a área da densidade espectral
integrada pela banda útil do receptor; para ruído real a integral de de a dá . A potêcia de portadora dividida por essa potência de ruído é a SNR pré-deteção.
Passo 5
Comparação com a SNR pós-deteção e interpretação prática (motivação / checagem rápida).
- O enunciado informou
. Encontramos . É razoável que a SNR pós-deteção seja menor que a pré-deteção porque o processo de demodulação (derivador + detector de envoltória + filtragem) não é ideal e o ruído é alterado pela diferenciação (a diferenciação realça componentes de alta frequência do ruído). A diferença numérica entre pré e pós (aprox. ) é consistente qualitativamente com essa perda; cálculos mais detalhados do ganho/perda real dependem do modelo exato do detector e das bandas dos filtros.