Desejamos medir o momento de inércia de um corpo de massa M em relação a um eixo horizontal. Para isto suspendemos o corpo por um eixo metálico fino, coincidindo com o eixo em relação ao qual desejamos determinar o momento de inércia, e fazemos o corpo executar pequenas oscilações em torno deste eixo. Medimos o período T das oscilações e a distância d entre o centro de massa e o ponto de suspensão. Obtenha a fórmula que deve ser empregada para o cálculo do momento de inércia do corpo em relação a este eixo.

Passo 1

O enunciado descreve um corpo de massa M suspenso por um eixo fino que coincide com o eixo em relação ao qual queremos medir seu momento de inércia. O corpo faz pequenas oscilações ao redor desse eixo, com período T, e o centro de massa fica a uma distância d desse eixo de suspensão. Vamos usar o modelo de pêndulo físico para relacionar T, M, g, d e o momento de inércia I em torno do eixo de rotação.

Passo 2

Para pequenas oscilações a partir da vertical, o torque restaurador em relação ao eixo de rotação é
\tau = -M g d \,\sin\theta \approx -M g d\,\theta,
onde \theta é o deslocamento angular pequeno. Aplicando a segunda lei de Newton para rotações, I\,\theta'' = \tau, obtemos
I\,\theta'' + M g d\,\theta = 0.

Passo 3

A equação acima é de movimento harmônico simples, com frequência angular
\omega^2 = \frac{M g d}{I} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g d}}.

Passo 4

Isolando I na expressão do período, vem
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g d}} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{M g d\,T^2}{4\pi^2}.

Resposta

I = \frac{M g d\,T^2}{4\pi^2}.

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