Em uma experiência para a determinação do valor local da aceleração da gravidade, um estudante usa um pêndulo simples. Diga a expressão que o estudante deve empregar para o cálculo de g nos seguintes casos: (a) a amplitude angular das oscilações é da ordem de 10^{\circ}, (b) a amplitude angular das oscilações é de 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado trata da determinação de g usando um pêndulo simples de comprimento L que oscila com período T. Para pequenas amplitudes podemos usar a aproximação de pequeno ângulo; para amplitudes maiores precisamos levar em conta a dependência do período com a amplitude, via integral elíptica ou sua expansão assintótica.

Passo 2

Quando a amplitude angular \theta_{0} é pequena (da ordem de 10^\circ\approx0,17 rad), vale a fórmula clássica
T \simeq 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Invertendo para g, obtemos
g = \frac{4\pi^2\,L}{T^2}.

Passo 3

Para amplitudes maiores (por exemplo \theta_{0}=30^\circ=\pi/6 rad), o período exato é dado por
T = 4\sqrt{\frac{L}{g}}\;K\bigl(\sin(\tfrac{\theta_{0}}{2})\bigr),
onde K(k) é a integral elíptica de primeira espécie com módulo k=\sin(\theta_{0}/2).

Passo 4

Na prática costuma‐se usar a expansão em série para T em função de \theta_{0}:
T \simeq 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \Bigl[1 + \frac{1}{16}\,\theta_{0}^2 + \frac{11}{3072}\,\theta_{0}^4 + \cdots\Bigr].
Mantendo apenas o primeiro termo de correção,
T \simeq 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\Bigl(1 + \tfrac{1}{16}\theta_{0}^2\Bigr).
Invertendo para g resulta
g \simeq \frac{4\pi^2\,L}{T^2}\Bigl(1 + \tfrac{1}{16}\theta_{0}^2\Bigr)^{2}.

Resposta

(a) Para \theta_{0}\approx10^\circ:
g = \frac{4\pi^2\,L}{T^2}.
(b) Para \theta_{0}=30^\circ:
g \simeq \frac{4\pi^2\,L}{T^2}\Bigl(1 + \tfrac{1}{16}\theta_{0}^2\Bigr)^{2}, \quad\theta_{0}=\frac{\pi}{6}.
Ou, de forma exata,
g = \frac{16\,L}{T^2}\;K\!\bigl(\sin(\tfrac{\theta_{0}}{2})\bigr)^{2}.

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