Em uma experiência para a determinação do valor local da aceleração da gravidade, um estudante usa um pêndulo simples. Diga a expressão que o estudante deve empregar para o cálculo de
nos seguintes casos: (a) a amplitude angular das oscilações é da ordem de
, (b) a amplitude angular das oscilações é de
.
Passo 1
O enunciado trata da determinação de
usando um pêndulo simples de comprimento
que oscila com período
. Para pequenas amplitudes podemos usar a aproximação de pequeno ângulo; para amplitudes maiores precisamos levar em conta a dependência do período com a amplitude, via integral elíptica ou sua expansão assintótica.
Passo 2
Quando a amplitude angular
é pequena (da ordem de
rad), vale a fórmula clássica
Invertendo para
, obtemos
Passo 3
Para amplitudes maiores (por exemplo
rad), o período exato é dado por
onde
é a integral elíptica de primeira espécie com módulo
.
Passo 4
Na prática costuma‐se usar a expansão em série para
em função de
:
Mantendo apenas o primeiro termo de correção,
Invertendo para
resulta
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
:
Ou, de forma exata,