Determine o período de oscilação de um pêndulo simples quando o ponto de suspensão se move:
verticalmente para baixo, com uma aceleração cujo módulo é a;

Passo 1

O enunciado pede o período de pequenas oscilações de um pêndulo simples de comprimento L quando o ponto de suspensão acelera verticalmente para baixo com módulo a. O conteúdo principal aqui é o uso de referência não-inercial e da força inercial (pseudo-força) para obter uma “gravidade efetiva”

Passo 2

Escolhemos o referencial acelerado junto com o ponto de suspensão. Nesse referencial aparece uma pseudo-força de módulo m\,a apontando para cima, além do peso m\,g apontando para baixo. A resultante dessas forças sobre a massa faz com que ela “sinta” uma aceleração gravitacional efetiva
g_{\rm eff} = g - a.
Esse valor deve ser positivo g>a para que haja restauração e oscilações pequenas.

Passo 3

Para pequenos deslocamentos em ângulo \theta, a componente tangencial da força de restauração vale
F_t \approx -m\,g_{\rm eff}\,\theta\,L,
pois \sin\theta\approx\theta. Aplicando a segunda lei de Newton no movimento angular, temos
m\,L^2\,\ddot{\theta} = -m\,g_{\rm eff}\,L\,\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot{\theta} + \frac{g - a}{L}\,\theta = 0.
Essa é a equação de um oscilador harmônico com \displaystyle \omega^2 = \frac{g - a}{L}.

Passo 4

O período de um oscilador harmônico simples é dado por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega = \sqrt{\tfrac{g - a}{L}} obtemos

Resposta

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g - a}}.

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