Desenhe uma célula unitária hexagonal compacta. Calcule o número de átomos por célula unitária. Calcule a fração do espaço total ocupada por átomos esféricos num cristal HC (fator de empacotamento).

Passo 1

O enunciado pede para (1) desenhar a célula unitária hexagonal compacta (HCP), (2) calcular o número de átomos por célula unitária e (3) calcular a fração do volume ocupado por átomos esféricos (fator de empacotamento). Vamos usar geometria cristalina HCP, contar contribuições parciais de cada átomo e relacionar parâmetros de rede à esfera de raio R.

Passo 2

Geometria e posições atômicas na HCP
A célula é um prisma hexagonal de aresta da base a (distância entre vizinhos mais próximos = 2R) e altura c. Os átomos ocupam:
  • Vértices dos hexágonos em z=0 e z=c:
    (\pm a,0,0), \bigl(\pm \tfrac{a}{2},\pm\tfrac{\sqrt3\,a}{2},0\bigr) e as mesmas com z=c.
  • Centros das faces hexagonais em (0,0,0) e (0,0,c).
  • Três átomos no plano médio z=c/2 em
    \bigl(0,\tfrac{a}{\sqrt3},\tfrac{c}{2}\bigr),
    \bigl(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2\sqrt3},\tfrac{c}{2}\bigr),
    \bigl(\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2\sqrt3},\tfrac{c}{2}\bigr).
    O desenho seria um prisma hexagonal mostrando estas camadas empilhadas no esquema A–B–A.

Passo 3

Cálculo do número de átomos por célula unitária
  • 12 vértices \times contribuição 1/6 cada =2 átomos
  • 2 centros de face (em z=0 e z=c) \times contribuição 1/2 =1 átomo
  • 3 átomos totalmente internos no plano médio =3 átomos
    Somando:
Z = 2 + 1 + 3 = 6.

Passo 4

Cálculo do fator de empacotamento (FE)
Volume da célula: base hexagonal de área \tfrac{3\sqrt3}{2}a^2 e altura c, logo
V_{\text{célula}} = \frac{3\sqrt3}{2}\,a^2\,c.é
Como a=2R e empacotamento ideal HCP dá razão
\frac{c}{a} = \sqrt{\frac{8}{3}},
temos
c = 2R\sqrt{\frac{8}{3}}.
Volume dos 6 esferas:
V_{\text{átomos}} = 6\;\frac{4}{3}\pi R^3 = 8\pi R^3.á
Fator de empacotamento:
\text{FE} = \frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}} = \frac{8\pi R^3}{\displaystyle \frac{3\sqrt3}{2}(2R)^2\!\cdot 2R\sqrt{\tfrac{8}{3}}} = \frac{\pi}{3\sqrt2} \approx 0{,}7405.áé

Resposta

Número de átomos por célula unitária: Z=6
Fator de empacotamento na HCP: \displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt2}\approx0{,}7405

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