Quais as seguintes direções pertencem ao plano (110)? [112] ; [ 1^{-} 10 ]; \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\end{array}\right] ;\left[1^{-} 12\right] ;\left[8^{-} 89\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das direções dadas pertencem ao plano (110). O conteúdo aqui é cristalografia de Miller: uma direção [u\,v\,w] pertence a um plano (h\,k\,\ell) se o produto escalar entre o vetor direção e o vetor normal ao plano for zero. Vamos usar essa condição.

Passo 2

O vetor normal ao plano (110) é
\mathbf{n} = (1,\,1,\,0)
e uma direção genérica é
\mathbf{d} = (u,\,v,\,w).
A condição de pertencimento é
\mathbf{n}\cdot\mathbf{d}=1\cdot u + 1\cdot v + 0\cdot w = u+v = 0.

Passo 3

Para a direção [1\,1\,2], temos
u+v = 1 + 1 = 2 \neq 0,
logo [1\,1\,2] não pertence ao plano (110).

Passo 4

Para a direção [\bar{1}\,1\,0], temos
u+v = (-1) + 1 = 0,
então [\bar{1}\,1\,0] pertence ao plano.

Passo 5

Para a direção [0\,0\,1], temos
u+v = 0 + 0 = 0,
logo [0\,0\,1] pertence ao plano.

Passo 6

Para a direção [\bar{1}\,1\,2], temos
u+v = (-1) + 1 = 0,
portanto [\bar{1}\,1\,2] pertence ao plano.

Passo 7

Para a direção [\bar{8}\,8\,9], temos
u+v = (-8) + 8 = 0,
logo [\bar{8}\,8\,9] pertence ao plano.

Resposta

As direções que pertencem ao plano (110) são
[\bar{1}\,1\,0],\quad [0\,0\,1],\quad [\bar{1}\,1\,2],\quad [\bar{8}\,8\,9].

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