Desenhe uma célula unitária ortorrômbica e, no interior dessa célula, represente uma direção [2̄̄1].

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenhar uma célula unitária ortorrômbica.
  • No interior dessa célula, representar a direção indicada por [2\bar{\\ } \bar{\\ }1] (notação com overbar para negativos).
Informações relevantes dadas (ou implicadas):
  • A célula ortorrômbica é um paralelograma retangular (paralelepípedo) cujas arestas são mutuamente ortogonais, com comprimentos distintos a, b, c em geral.
  • A notação de direção cristaleográfica [\;u\;v\;w\;] usa três inteiros u,v,w. Um algarismo com overbar (barra superior) indica sinal negativo (por exemplo, \overline{2} significa -2).
  • O enunciado usou a forma textual [2̄̄1] com sobrelinhas ambíguas visualmente. Há ambiguidade sobre quais algarismos têm overbar. Para prosseguir sem pedir esclarecimento, vou interpretar essa notação como a direção
\bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr],
ou seja, u=-2,\;v=-1,\;w=+1. Se a sua intenção for outra (por exemplo apenas o primeiro índice negativo), ignore a minha escolha e aplique o mesmo procedimento explicadinho abaixo à versão correta.

Passo 2

O que significa representar uma direção [\;u\;v\;w\;]
  • A direção [\;u\;v\;w\;] corresponde ao vetor de rede
\mathbf{r}=u\,\mathbf{a}+v\,\mathbf{b}+w\,\mathbf{c},
onde \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são os vetores de aresta da célula unitária (módulos a,b,c e mutuamente ortogonais na rede ortorrômbica).
  • Exemplificando: \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr] corresponde a
\mathbf{r}=-2\,\mathbf{a}-1\,\mathbf{b}+1\,\mathbf{c}.
  • Na prática, para desenhar, o que importa é a direção relativa (proporções) -2:-1:+1. Direções [u\,v\,w] são vetores livres: só interessam as razões entre u,v,w (pode-se dividir por um fator comum se existir).

Passo 3

Como é a célula ortorrômbica que vamos desenhar (esqueleto)
  • Desenhe um paralelepípedo retangular em perspectiva (um “caixote” inclinado). Faça assim, passo a passo:
    1. Desenhe um retângulo horizontal próximo da base (face frontal inferior).
    2. Desenhe outro retângulo paralelo, deslocado para cima e para trás (faces superior/traseras), ligeiramente deslocado para indicar perspectiva.
    3. Conecte os vértices correspondentes do retângulo de baixo com os de cima por linhas verticais (essas são as arestas \mathbf{c}).
  • Marque os eixos e arestas:
    • Aresta \mathbf{a}: da esquerda para a direita na face frontal inferior.
    • Aresta \mathbf{b}: da frente para trás (no desenho vai para a direita-trasladação na perspectiva).
    • Aresta \mathbf{c}: de baixo para cima (vertical no desenho).
  • Identifique o vértice de origem O (por exemplo, canto frontal-esquerdo-inferior) e rotule as arestas que saem dele: a ao longo de \mathbf{a}, b ao longo de \mathbf{b}, c ao longo de \mathbf{c}.

Passo 4

Entender geometria da direção \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr] antes de desenhar
  • Componentes inteiras: u=-2, v=-1, w=+1.
  • Interpretação geométrica: partindo de um ponto-lattice fictício, essa direção vai:
    • duas unidades na direção negativa de \mathbf{a} (ou seja, “para a esquerda” no nosso desenho),
    • uma unidade na direção negativa de \mathbf{b} (ou seja, “para a frente” ou “para baixo da profundidade”, depende da convenção do desenho — escolha “para a frente” como negativo de \mathbf{b}),
    • e uma unidade para cima (positivo em \mathbf{c}).
  • Em palavras: o vetor aponta para trás-esquerda-para cima, em proporção 2:1:1 nas direções a:b:c, com os sinais apropriados.

Passo 5

Regra prática para desenhar a direção dentro de uma única unidade (truque de escala)
  • Problema prático: o vetor -2\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c} pode sair da célula se plotado com escala natural. Então usa-se um fator de escala apenas para visualização: desenha-se um vetor paralelo a \mathbf{r} com comprimento reduzido, mantendo as razões entre componentes.
  • Método simples e robusto que você pode fazer à mão na prova:
    1. Normalize as componentes para caberem no paralelepípedo. Por exemplo, divida por 2 (o maior valor absoluto) para obter proporções -1:-\tfrac{1}{2}:\tfrac{1}{2}. Isto é apenas para caber no desenho; a direção permanece a mesma.
    2. A partir da origem O, marque na direção -\mathbf{a} uma distância proporcional a 1 (use metade da aresta a se quiser), marque na direção -\mathbf{b} uma distância proporcional a 1/2 (metade de b vezes 1/2 — ou seja, um quarto de b se estiver dividindo por 2), e para \mathbf{c} uma distância igual a 1/2 na vertical.
    3. A cabeça do vetor será o ponto obtido somando essas três contribuições (movimento diagonal: left + forward + up). Trace uma linha reta desde O até esse ponto e coloque uma ponta de seta indicando o sentido (para onde aponta).
  • Resultado visual esperado: a seta parte do canto frontal-esquerdo-inferior (origem), atravessa a célula indo para a região de trás-esquerda-superior, com projeções nas faces proporcionais a 2:1:1 (mas reduzidas pelo fator de escala escolhido).

Passo 6

Instrução passo a passo para desenhar à mão (guia prático)
  • Passo a passo para o lápis e papel:
    1. Desenhe o paralelepípedo ortorrômbico em perspectiva e identifique O (frontal-esquerdo-inferior). Rotule as arestas que saem de O como \mathbf{a} (direita), \mathbf{b} (para trás), \mathbf{c} (para cima).
    2. Escreva a direção que vamos desenhar: \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr] — isto é, -2:\,-1:\,+1.
    3. Escolha um fator de redução para caber no paralelepípedo: por exemplo, divida tudo por 2. Assim as componentes a desenhar ficam -1,\,-\tfrac{1}{2},\,+\tfrac{1}{2}.
    4. A partir de O, marque um ponto deslocado:
      • a distância \tfrac{1}{1} de a na direção negativa de a (para a esquerda), usando metade da aresta a se você estiver reduzindo;
      • a distância \tfrac{1}{2} de b na direção negativa de b (para a frente), usando um quarto da aresta b se for o caso;
      • a distância \tfrac{1}{2} de c para cima.
        Faça isso compondo os deslocamentos (desenhe primeiro a projeção na base ab e depois suba a componente c).
    5. Una O ao ponto marcado com uma linha reta e acrescente uma flecha na extremidade apontando para esse ponto. Rotule a seta com \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr].
    6. Para reforçar: desenhe sombras/projeções dessa seta nas faces ab (projeção no plano da base) e ac ou bc para deixar claro que a seta tem componentes negativas em a e b e positiva em c.
  • Dica de visual: a projeção no plano da base ab será um segmento apontando para a combinação -2:\,-1 (ou para -1:-\tfrac{1}{2} depois da redução) — isto mostra o “plano” do deslocamento horizontal; a componente vertical +1 eleva o ponto até a face superior.

Passo 7

O que rotular no desenho e o que explicar na prova (resumo curto para ganhar pontos)
  • No desenho, indique:
    • as arestas \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},
    • a origem O,
    • a seta representando a direção rotulada com \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr],
    • as projeções do vetor nas faces (opcional, mas ajuda a entender componentes).
  • Na resposta escrita (na prova) explique em uma linha:
\text{Direção } \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr] = -2\,\mathbf{a} - 1\,\mathbf{b} + 1\,\mathbf{c},çã
e que, no desenho, a seta foi reduzida por um fator (indicar qual) para caber na célula, mantendo as proporções entre as componentes.

Resposta

Desenho de um paralelepípedo ortorrômbico com arestas \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} mutuamente ortogonais, e uma seta partindo da origem O apontando na direção proporcional a -2:\,-1:\,+1, rotulada como \bigl[\overline{2}\,\overline{1}\,1\bigr] (ou seja, o vetor -2\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}), desenhado com um fator de escala adequado para caber dentro da célula.

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