Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais:
2 s

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe um diagrama de contorno para o orbital 2s.
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas o nome do orbital, 2s. Não há figura ou escala obrigatória no enunciado.

Passo 2

O que é um diagrama de contorno?
Um diagrama de contorno para um orbital mostra superfícies onde a função de onda \psi (ou às vezes apenas o sinal de \psi) tem valores constantes. Para orbitais atômicos s (como 2s) essas superfícies de contorno são esferas concêntricas (porque o orbital é isotrópico). Num desenho 2D fazemos uma secção: as esferas aparecem como círculos concêntricos. Em contornos é importante indicar onde \psi muda de sinal (nós), porque isso altera o preenchimento/cores no desenho.

Passo 3

A forma matemática do orbital 2s (para o átomo de hidrogênio) e o que as letras significam:
R_{20}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2}\,a_0^{3/2}}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}
Aqui:
  • R_{20}(r) é a parte radial da função de onda (a dependência radial do orbital 2s).
  • r é a distância ao núcleo.
  • a_0 é o raio de Bohr (unidade de comprimento típica).
    A função de onda total do orbital s é \psi_{2s}(r)=R_{20}(r) (multiplicada por um fator angular constante para s, mas não precisamos desse fator porque é isotrópico).

Passo 4

Encontre os nós radiais (onde \psi=0).
Zeramos o fator linear:
2-\frac{r}{a_0}=0 \quad\Rightarrow\quad r=2a_0.
Portanto o 2s tem um nó esférico (superfície onde \psi=0) na esfera de raio \displaystyle r=2a_0. Esse é o ponto crucial do diagrama: dentro dessa esfera \psi tem um sinal; fora da esfera \psi tem o sinal oposto.

Passo 5

Interpretação física e sinal da função de onda:
  • Para r<2a_0 o fator \left(2-\dfrac{r}{a_0}\right) é positivo, logo \psi é positivo nessa região (já que o expoente é positivo definido).
  • Para r>2a_0 esse fator é negativo, logo \psi é negativo.
    A densidade de probabilidade é |\psi|^2, que é sempre positiva e mostra que há probabilidade tanto dentro quanto fora da esfera nodal; mas exatamente em r=2a_0 a probabilidade é zero.

Passo 6

Como traduzir isso num desenho de contorno (passo a passo prático para você desenhar à mão — faça isso na folha durante a prova):
  1. Desenhe um ponto no centro para representar o núcleo.
  2. Desenhe círculos concêntricos ao redor do núcleo — esses são cortes das esferas de contorno. Use pelo menos três círculos: um pequeno interior, um correspondente ao nó (marcado especial) e um externo.
  3. Marque o círculo que representa r=2a_0 com uma linha tracejada grossa ou com a legenda “nó: \psi=0,\; r=2a_0”. Esse é o círculo que separa as zonas de sinais opostos.
  4. Indique o sinal da função de onda: escreva \,+ dentro do círculo do nó e \,- fora desse círculo. (Convenção: + para r<2a_0, − para r>2a_0.)
  5. Acrescente mais curvas de contorno internas e externas (outra(s) círculo(s) mais perto do centro e/ou mais longe) para mostrar superfícies de igual \psi. Para contornos positivos use linhas contínuas; para contornos negativos use linhas pontilhadas ou coloridas diferentemente — o objetivo é deixar claro a mudança de sinal.
  6. Opcional: desenhe setas mostrando que a magnitude de \psi decresce para r\to\infty por causa do fator exponencial e^{-r/(2a_0)}. Ou anote “ \psi decresce exponencialmente com r”.

Passo 7

Sugestão de valores reais para posicionar os círculos (para ficar mais concreto na prova):
  • Escolha um círculo interior em torno de r\approx 0{,}5a_0 (contorno positivo pequeno).
  • O círculo do nó em r=2a_0 (obrigatório).
  • Um ou dois círculos externos em r\approx 3a_0 e 4{,}5a_0 (contornos negativos diminuindo em magnitude).
    Exemplo numérico rápido para você ver as magnitudes relativas (não precisa decorar, só entender a ideia):
R_{20}(0)=\frac{1}{\sqrt{2}\,a_0^{3/2}}\quad\text{(positivo, valor máximo em \(r=0\))}á
R_{20}(1{,}5a_0)\approx 0{,}12\,R_{20}(0)\quad\text{(ainda positivo, muito menor)}
R_{20}(3a_0)\approx -0{,}11\,R_{20}(0)\quad\text{(negativo, mesma ordem de magnitude que um contorno interno pequeno)}
Isso mostra que a parte externa tem magnitude comparável à parte interna, mas com sinal oposto; por isso ambas as regiões aparecem no desenho, separadas pelo nó esférico.

Passo 8

Como rotular e finalizar o desenho (dicas de prova):
  • Escreva claramente “ 2s” no canto do desenho e “nó esférico em r=2a_0”.
  • Use sinais + e - ou duas cores para mostrar a mudança de fase.
  • Se quiser, adicione a legenda “contornos de \psi” ou “contornos de |\psi|” (explique o que está sendo mostrado).
  • Lembre-se: em 3D são esferas; em corte 2D são círculos concêntricos.

Resposta

Desenho: círculos concêntricos com o núcleo no centro; círculo especial (nó) em r=2a_0 marcado como \psi=0; região interna ( r<2a_0) rotulada com +; região externa ( r>2a_0) rotulada com -; contornos internos/externos adicionais mostrando decaimento exponencial de \psi.

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