Exercício 01 - Uma reação em fase liquida é processada em um reator PFR de 0,2 litros de capacidade, alimentando com reagente
a uma vazão de
. Sabendo-se que a reação é irreversível com constante cinética
, e que o reator pode trabalhar com reciclo, calcule:
a) A conversão máxima.
b) A conversão mínima.
c) A conversão para
.
d) A conversão para
.
e) A conversão para
.
a) A conversão máxima.
b) A conversão mínima.
c) A conversão para
d) A conversão para
e) A conversão para
Passo 1
O enunciado (resumindo e listando os dados) nos dá:
É pedido calcular as conversões
nas situações:
a) conversão máxima (quando permitimos reciclo);
b) conversão mínima;
c) para
;
d) para
;
e) para
.
a) conversão máxima (quando permitimos reciclo);
b) conversão mínima;
c)
d)
e)
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O reator é do tipo PFR (fluxo piston) com volume
. - A reação é irreversível com constante cinética
. Pelos units de (/mol·min) assumimos lei de velocidade de segunda ordem: . - O sistema pode ter reciclo. Aqui adotamos a definição usual do índice de reciclo:
Não há outra informação ambígua no enunciado, então vamos usar essas convenções para resolver.
Passo 2
Definições de concentrações e conversão (para ficar bem claro):
- Concentração na alimentação fresca:
. - Conversão referente à alimentação fresca:
, então a concentração na saída do reator (nomeada ) é
- Se houver reciclo com razão
, a concentração na entrada do reator (após mistura do fresco com o recirculado) é a média em balanço de massas:
Explicando: a vazão total que entra no reator é
(alimentação fresca
mais recirculação
); a mistura tem conteúdo molar total de
. Dividindo pelo caudal total obtemos a expressão acima.
Passo 3
Equação de projeto do PFR (explicada passo a passo):
- Para um PFR com caudal volumétrico constante
, a equação diferencial de balanço molar de é
- Como
, temos
- Integrando do volume
(entrada do reator com concentração ) até (saída com ):
- A integral à esquerda dá
. Portanto:
- Definimos o tempo de residência (space time)
Então a equação fica
Passo 4
Agora substituímos as expressões de
e
em termos de
:
-
. -
Substituindo em
e dividindo toda a equação por
(para ficar adimensional) obtemos:
Para simplificar a álgebra, definimos
(concentração relativa na saída) e
. Com isso a equação vira:
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando obtemos a equação polinomial de segundo grau em
:
Esta é a equação que relaciona
com o índice de reciclo
e o parâmetro adimensional
. Para cada
resolvemos esta quadrática e escolhemos a raiz física positiva e menor ou igual a 1 (pois
).
Passo 5
Calculemos os parâmetros numéricos:
- Tempo de residência
- Produto
- Portanto
Interpretação física e limites:
- Para
(sem reciclo) a equação quadrática reduz a linear , de onde
Este é o caso sem reciclo — é o menor
possível pois aumentar
here leva a maior conversão (ver-se-á pela solução).
- Para
a solução , logo . Ou seja, a conversão máxima tende a quando o índice de reciclo cresce bastante (assintoticamente).
Passo 6
Agora vamos resolver a quadrática para valores específicos de
. A fórmula resolvente para
é
escolhendo o sinal
no discriminante porque queremos a raiz positiva (o outro sinal dá raiz negativa).
Já temos
. Vamos calcular:
Caso geral para referência:
Passo 7
Cálculos numéricos (detalhando cada
):
- Para
(conversão mínima, sem reciclo):
logo
- Para
:
portanto
- Para
:
portanto
- Para
:
portanto
Passo 8
Síntese física e resposta sobre máximo e mínimo:
- A conversão mínima ocorre sem reciclo (
) e vale . - A conversão máxima, ao permitir reciclo arbitrariamente grande
, tende a (100%) de modo assintótico — ou seja, não há um teto (menor que 1) fixo diferente de 1: aumentando muito a conversão aproxima-se cada vez mais de 1.
Resposta
(a)
(tende a
quando
).
(b) .
(c) Para .
(d) Para .
(e) Para .
(b)
(c) Para
(d) Para
(e) Para