Exercício 01 - Uma reação em fase liquida é processada em um reator PFR de 0,2 litros de capacidade, alimentando com reagente \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=0,1 \mathrm{M} a uma vazão de 0,021 / \mathrm{min}. Sabendo-se que a reação é irreversível com constante cinética \mathrm{k}=3,01 / \mathrm{mol} . \mathrm{min}, e que o reator pode trabalhar com reciclo, calcule:
a) A conversão máxima.
b) A conversão mínima.
c) A conversão para \mathrm{R}=1.
d) A conversão para \mathrm{R}=5.
e) A conversão para \mathrm{R}=100.

Passo 1

O enunciado (resumindo e listando os dados) nos dá:
V=0,2\\ \text{L},\quad q=0,021\\ \text{L/min},\quad C_{A0}=0,1\\ \text{M},\quad k=3{,}01\\ \text{L/mol·min}
É pedido calcular as conversões X nas situações:
a) conversão máxima (quando permitimos reciclo);
b) conversão mínima;
c) X para R=1;
d) X para R=5;
e) X para R=100.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O reator é do tipo PFR (fluxo piston) com volume V.
  • A reação é irreversível com constante cinética k. Pelos units de k (/mol·min) assumimos lei de velocidade de segunda ordem: -r_A = k\,C_A^{2}.
  • O sistema pode ter reciclo. Aqui adotamos a definição usual do índice de reciclo:
R=\frac{\text{vazão de recirculação}}{\text{vazão de alimentação fresca}}ãçããçã
Não há outra informação ambígua no enunciado, então vamos usar essas convenções para resolver.

Passo 2

Definições de concentrações e conversão (para ficar bem claro):
  • Concentração na alimentação fresca: \,C_{A0}\,.
  • Conversão referente à alimentação fresca: \,X, então a concentração na saída do reator (nomeada C_{A\!f}) é
C_{A\!f}=C_{A0}(1-X).
  • Se houver reciclo com razão R, a concentração na entrada do reator (após mistura do fresco com o recirculado) é a média em balanço de massas:
C_{A\!in}=\frac{C_{A0}+R\,C_{A\!f}}{1+R}.
Explicando: a vazão total que entra no reator é q(1+R) (alimentação fresca q mais recirculação qR); a mistura tem conteúdo molar total de qC_{A0}+qR C_{A\!f}. Dividindo pelo caudal total obtemos a expressão acima.

Passo 3

Equação de projeto do PFR (explicada passo a passo):
  • Para um PFR com caudal volumétrico constante q, a equação diferencial de balanço molar de A é
q\frac{dC_A}{dV} = -r_A.
  • Como -r_A=k C_A^{2}, temos
\frac{dC_A}{dV} = \frac{k C_A^{2}}{q}.
  • Integrando do volume 0 (entrada do reator com concentração C_{A\!in}) até V (saída com C_{A\!f}):
\int_{C_{A\!in}}^{C_{A\!f}} \frac{dC_A}{C_A^{2}} = \int_{0}^{V} \frac{k}{q}\, dV = \frac{kV}{q}.
  • A integral à esquerda dá -\frac{1}{C_{A\!f}} + \frac{1}{C_{A\!in}}. Portanto:
\frac{1}{C_{A\!in}} - \frac{1}{C_{A\!f}} = \frac{kV}{q}.
  • Definimos o tempo de residência (space time)
\tau=\frac{V}{q}.
Então a equação fica
\frac{1}{C_{A\!in}} - \frac{1}{C_{A\!f}} = k\tau.

Passo 4

Agora substituímos as expressões de C_{A\!in} e C_{A\!f} em termos de X:
  • C_{A\!f}=C_{A0}(1-X).
  • C_{A\!in}=\dfrac{C_{A0}+R\,C_{A\!f}}{1+R}=\dfrac{C_{A0}+R\,C_{A0}(1-X)}{1+R}=C_{A0}\dfrac{1+R(1-X)}{1+R}.
Substituindo em \dfrac{1}{C_{A\!in}}-\dfrac{1}{C_{A\!f}}=k\tau e dividindo toda a equação por C_{A0} (para ficar adimensional) obtemos:
\frac{1}{1-X} - \frac{1+R}{1+R(1-X)} = k\tau C_{A0}.
Para simplificar a álgebra, definimos \beta = 1-X (concentração relativa na saída) e \alpha = k\tau C_{A0}. Com isso a equação vira:
\frac{1}{\beta} - \frac{1+R}{1+R\beta} = \alpha.
Multiplicando ambos os lados por \beta(1+R\beta) e reorganizando obtemos a equação polinomial de segundo grau em \beta:
\alpha R \beta^{2} + (\alpha+1)\beta - 1 = 0.
Esta é a equação que relaciona \beta=1-X com o índice de reciclo R e o parâmetro adimensional \alpha. Para cada R\ge 0 resolvemos esta quadrática e escolhemos a raiz física positiva e menor ou igual a 1 (pois \beta\in(0,1]).

Passo 5

Calculemos os parâmetros numéricos:
  • Tempo de residência
\tau=\frac{V}{q}=\frac{0,2}{0,021}\\ \text{min}=\frac{200}{21}\\ \text{min}\approx 9{,}5238095238\\ \text{min}.
  • Produto kC_{A0}
kC_{A0}=3{,}01\times 0{,}1=0{,}301\\ \text{min}^{-1}.
  • Portanto
\alpha = k\tau C_{A0}=0{,}301\times\frac{200}{21}=\frac{60{,}2}{21}\approx 2{,}866666667.
Interpretação física e limites:
  • Para R=0 (sem reciclo) a equação quadrática reduz a linear (\alpha+1)\beta -1 =0, de onde
\beta_{R=0}=\frac{1}{\alpha+1}\quad\Rightarrow\quad X_{R=0}=\frac{\alpha}{\alpha+1}.
Este é o caso sem reciclo — é o menor X possível pois aumentar R here leva a maior conversão (ver-se-á pela solução).
  • Para R\to\infty a solução \beta\to 0, logo X\to 1. Ou seja, a conversão máxima tende a 100\% quando o índice de reciclo cresce bastante (assintoticamente).

Passo 6

Agora vamos resolver a quadrática para valores específicos de R. A fórmula resolvente para
\alpha R \beta^{2} + (\alpha+1)\beta - 1 = 0
é
\beta=\frac{-(\alpha+1)+\sqrt{(\alpha+1)^{2}+4\alpha R}}{2\alpha R},
escolhendo o sinal + no discriminante porque queremos a raiz positiva (o outro sinal dá raiz negativa).
Já temos \alpha\approx 2{,}866666667. Vamos calcular:
Caso geral para referência:
\tau=\frac{0,2}{0,021}\approx 9{,}5238095\\ \text{min},\qquad \alpha\approx 2{,}866666667.

Passo 7

Cálculos numéricos (detalhando cada R):
  1. Para R=0 (conversão mínima, sem reciclo):
\beta_{0}=\frac{1}{\alpha+1}=\frac{1}{2{,}866666667+1}=\frac{1}{3{,}866666667}\approx 0{,}2586667,
logo
X_{0}=1-\beta_{0}\approx 1-0{,}2586667=0{,}7413333\quad(\text{ou }74{,}13\%).
  1. Para R=1:
D=(\alpha+1)^{2}+4\alpha R\approx 3{,}866666667^{2}+4\times2{,}866666667\times1\approx 26{,}41777778,
\sqrt{D}\approx 5{,}139823,\qquad \beta=\frac{-3{,}866666667+5{,}139823}{2\times2{,}866666667\times1}\approx 0{,}222135,
portanto
X_{R=1}=1-\beta\approx 0{,}777865\quad(\text{ou }77{,}79\%).
  1. Para R=5:
D\approx 3{,}866666667^{2}+4\times2{,}866666667\times5\approx 72{,}28444444,
\sqrt{D}\approx 8{,}502026,\qquad \beta=\frac{-3{,}866666667+8{,}502026}{2\times2{,}866666667\times5}\approx 0{,}161635,
portanto
X_{R=5}=1-\beta\approx 0{,}838365\quad(\text{ou }83{,}84\%).
  1. Para R=100:
D\approx 3{,}866666667^{2}+4\times2{,}866666667\times100\approx 1161{,}61777778,
\sqrt{D}\approx 34{,}08261,\qquad \beta=\frac{-3{,}866666667+34{,}08261}{2\times2{,}866666667\times100}\approx 0{,}052713,
portanto
X_{R=100}=1-\beta\approx 0{,}947287\quad(\text{ou }94{,}73\%).

Passo 8

Síntese física e resposta sobre máximo e mínimo:
  • A conversão mínima ocorre sem reciclo ( R=0) e vale X_{\min}=\dfrac{\alpha}{\alpha+1}.
  • A conversão máxima, ao permitir reciclo arbitrariamente grande R\to\infty, tende a X_{\max}=1 (100%) de modo assintótico — ou seja, não há um teto (menor que 1) fixo diferente de 1: aumentando muito R a conversão aproxima-se cada vez mais de 1.

Resposta

(a) X_{\max}=1 (tende a 100\% quando R\to\infty).
(b) X_{\min}=\dfrac{\alpha}{\alpha+1}\approx 0{,}7413333.
(c) Para R=1:\;X\approx 0{,}777865.
(d) Para R=5:\;X\approx 0{,}838365.
(e) Para R=100:\;X\approx 0{,}947287.

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