Desenhe os diagramas de Bode por meio das assíntotas para os sistemas com as seguintes funções de transferência:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente “desenhar os diagramas de Bode por meio das assíntotas” para
Isso é conteúdo de resposta em frequência (Bode): magnitude em dB e fase em graus, usando aproximações lineares (as assíntotas). Para resolver, a gente vai precisar:
- Identificar polos e zeros,
- Separar o ganho e cada fator em forma de
ou , - Montar as assíntotas de magnitude (pendentes e interceptos) e
- Montar as assíntotas de fase (ângulos que cada polo/zero aporta).
Passo 2
Primeiro, fatoramos o sistema em coisas conhecidas:
– Temos um polo em
(fator
),
– Temos outro polo em (fator
),
– E o ganho está em .
Em Bode, isso vira:
– Temos outro polo em
– E o ganho está em
Em Bode, isso vira:
- Um bloco “
” dá ,dB de ganho constante. - O polo em zero (
) introduz uma queda de ,dB/década a partir de . - O polo em
rad/s ( ) começa com 0,dB até a frequência de canto , depois adiciona mais ,dB/década.
Passo 3
Assíntota de magnitude (em dB):
- Desde
até : apenas o polo em 0 conta, então a curva tem
intercepto em: ,dB e decaimento de ,dB/década. - A partir de
: entram os dois polos juntos, então a partir desse ponto o declínio fica ,dB/década.
Para mais detalhes:
- Em
rad/s, magnitude assintótica é ,dB. - No canto
, o primeiro polo já levou a ,dB, e aí começa o segundo polo.
Passo 4
Assíntota de fase: somamos a contribuição de cada fator:
-
não dá fase. - Polo em
(ou ) dá sempre desde . - Polo em
dá uma variação de fase que, na forma assintótica, fica assim: - Para
rad/s: ~ (esse polo ainda não “acionou”). - Entre
e rad/s: desce linearmente de a (-45° no meio, em ). - Para
rad/s: estabiliza em .
- Para
Somando com os
fixos do primeiro polo, temos no total:
-
: . -
: desce de até linearmente em escala log. -
: .
Resposta
Magnitude (dB):
- Slope =
,dB/déc até , intercepto 20 dB em . - Slope =
,dB/déc para .
Fase (°):
-
para , - decaindo linearmente de
a entre e , -
para .
Pronto! Essas são as assíntotas (linhas retas) do diagrama de Bode para
.