Desenhe o Lugar Geométrico das Raízes para cada uma das seguintes funções de transferência de malha aberta.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra desenhar o Lugar Geométrico das Raízes (root locus) da função de malha aberta
Conteúdo: root locus em Sistemas de Controle.
O que vamos usar:
- Localização dos polos e zeros no eixo
- Regra do eixo real (quantos polos/zeros à direita).
- Cálculo dos ramos no infinito (assíntotas, centro e ângulos).
- Ponto de encontro (breakaway) entre ramos reais.
A partir do próximo passo já partimos pra resolução de fato.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar polos e zeros de
:
- Polos em
, e . - Zeros: não temos nenhum.
No gráfico do plano
, marca esses três pontos. É a base pra montar o locus.
Passo 3
Agora, vamos ver em que partes do eixo real o root locus “fica ativo”.
Regra simples: num ponto real o locus existe se o número de polos + zeros à direita dele for ímpar.
Regra simples: num ponto real
- Para
: não há polos/zeros à direita → 0 (par) → sem locus. - Entre
e : há só o polo em 0 à direita → 1 (ímpar) → locus ativo. - Entre
e : há dois polos (0 e ) → 2 (par) → sem locus. - Para
: três polos à direita → 3 (ímpar) → locus ativo.
Concluímos que há dois pedaços de ramo real: um entre
e
e outro pra esquerda de
.
Passo 4
Como temos 3 polos e 0 zeros, existem
ramos totais. Destes, dois começam nos polos reais mais à direita (0 e
) e um no polo em
.
No infinito, os ramos seguem assíntotas.
No infinito, os ramos seguem assíntotas.
- Número de assíntotas =
. - Centro (baricentro) das assíntotas:
- Ângulos das assíntotas:
Passo 5
Precisamos achar o ponto de breakaway (onde dois ramos reais se juntam) entre
e
.
A equação do ganho em função de nesse segmento real é
A equação do ganho em função de
Para encontrar o breakaway, derivamos e igualamos a zero:
Resolvendo:
Só
está entre
e
, então é o nosso breakaway.
Passo 6
Hora de descrever o esboço final do locus:
- Ramo A: sai de
e ramo B: sai de . Eles se encontram em (breakaway) e, a partir daí, seguem para o infinito ao longo de duas assíntotas com ângulos e , centradas em . - Ramo C: sai do polo em
e vai direto para o infinito pela assíntota de ângulo (reta real para a esquerda de ).
Resposta
O lugar das raízes tem:
- Dois ramos reais ativos em
e . - Breakaway em
. - Três assíntotas a partir de
com ângulos , e .