Desenhe o Lugar Geométrico das Raízes para cada uma das seguintes funções de transferência de malha aberta.
G(s)=Ks(s+1)(4 s+1)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra desenhar o Lugar Geométrico das Raízes (root locus) da função de malha aberta
G(s)=Ks,(s+1),(4s+1),
Conteúdo: root locus em Sistemas de Controle.
O que vamos usar:
- Localização dos polos e zeros no eixo .
- Regra do eixo real (quantos polos/zeros à direita).
- Cálculo dos ramos no infinito (assíntotas, centro e ângulos).
- Ponto de encontro (breakaway) entre ramos reais.
A partir do próximo passo já partimos pra resolução de fato.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar polos e zeros de :
  • Polos em , e .
  • Zeros: não temos nenhum.
No gráfico do plano , marca esses três pontos. É a base pra montar o locus.

Passo 3

Agora, vamos ver em que partes do eixo real o root locus “fica ativo”.
Regra simples: num ponto real o locus existe se o número de polos + zeros à direita dele for ímpar.
  1. Para : não há polos/zeros à direita → 0 (par) → sem locus.
  2. Entre e : há só o polo em 0 à direita → 1 (ímpar) → locus ativo.
  3. Entre e : há dois polos (0 e ) → 2 (par) → sem locus.
  4. Para : três polos à direita → 3 (ímpar) → locus ativo.
Concluímos que há dois pedaços de ramo real: um entre e e outro pra esquerda de .

Passo 4

Como temos 3 polos e 0 zeros, existem sigmaa = sum polos - sum zerosnp - nz = 0 + (-1) + (-tfrac14)3 = -tfrac5/43 = -0,4167, ramos totais. Destes, dois começam nos polos reais mais à direita (0 e thetak = (2k+1),180^circ3, k=0,1,2 ;Rightarrow; 60^circ,;180^circ,;-60^circ ) e um no polo em .
No infinito, os ramos seguem assíntotas.
  • Número de assíntotas = .
  • Centro (baricentro) das assíntotas:
  • Ângulos das assíntotas:

Passo 5

Precisamos achar o ponto de breakaway (onde dois ramos reais se juntam) entre K(sigma) ;=; -,sigma,(sigma+1),(4sigma+1), e dKdsigma=0 ;Rightarrow; -l[12sigma^2+10sigma+1r]=0 ;Rightarrow; 12sigma^2+10sigma+1=0 .
A equação do ganho em função de sigma = -10 pm raiz100 - 4824 = -10 pm 2raiz1324 approx -0,116 ;ou;-0,717 nesse segmento real é
Para encontrar o breakaway, derivamos e igualamos a zero:
Resolvendo:
está entre e , então é o nosso breakaway.

Passo 6

Hora de descrever o esboço final do locus:
  1. Ramo A: sai de e ramo B: sai de . Eles se encontram em (breakaway) e, a partir daí, seguem para o infinito ao longo de duas assíntotas com ângulos e , centradas em .
  2. Ramo C: sai do polo em e vai direto para o infinito pela assíntota de ângulo (reta real para a esquerda de ).

Resposta

O lugar das raízes tem:
  • Dois ramos reais ativos em e .
  • Breakaway em .
  • Três assíntotas a partir de com ângulos , e .

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