nos dois cenários em que as constantes de tempo dos zeros são maiores do que a do polo real, a saber
T<T_a<T_b
T<T_b<T_a
O conteúdo é análise de resposta em frequência e construção do traçado polar, no plano complexo, do laço aberto G(j\omega)H(j\omega) para \omega de 0 a \infty.
Analisamos os extremos de frequência para saber onde o traçado começa e termina:
\omega\to0^+: \sqrt{1+(\omega T_i)^2}\approx1, \omega^2\to0, \sqrt{1+(\omega T)^2}\approx1.
Módulo \to\infty.
Fase \to0+0-180-0=-180^\circ.
Então o traço inicia no “infinito” sobre o eixo real negativo, com ângulo -180^\circ.
\omega\to\infty: \sqrt{1+(\omega T_i)^2}\approx\omega T_i, módulo \sim K\,T_aT_b/(T\,\omega)\to0.
Fase \to90+90-180-90=-90^\circ.
O traço termina na origem, aproximando-se do semieixo imaginário negativo.
Cada zero faz a fase subir +90^\circ (no intervalo de uma década antes a uma depois de \omega_{z}), e o polo real faz a fase cair -90^\circ em torno de \omega_p. Como T<T_i, temos \omega_{z_i}<\omega_p.
Passo 5
Caso 1: T< T_a< T_b. A ordem crescente de frequências é
Traçado polar qualitativo (setas indicam o sentido de \omega crescente):
imag
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início •——————→ curva → termina
(\omega\to0, ângulo –180\circ)
‾‾‾‾‾‾‾‾
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real
Em detalhe, à medida que \omega ultrapassa \omega_{zb}, a fase começa a subir; em seguida, perto de \omega_{za} ela já ganhou ~+90\circ dos dois zeros; em torno de \omega_p a fase cai ~-90\circ pelo polo real, acabando em –90\circ no fim.
é apenas a inversão na ordem dos dois zeros. O traçado polar fica qualitativamente igual—começa em –180\circ no infinito real negativo e vai curvando, ganhando fase em dois “golpes” conforme atinge cada \omega_{z}, depois perdendo um pouco em \omega_p, e termina em –90\circ no ponto de origem. A única diferença é a posição do “joelho” (inflection) do primeiro e do segundo zero, invertida em relação ao Caso 1.
Resposta
Os diagramas polares para os dois casos são arcos que partem de -\infty no eixo real negativo a -180^\circ, curvam progressivamente ganhando fase em faixas centrais (uma em cada \omega_{z_i}), perdem fase em torno de \omega_p, e chegam à origem no ângulo -90^\circ. A única diferença entre os casos é a ordem das duas inflexões (a do zero cuja constante de tempo é maior aparece sempre primeiro).