Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta
G(s) H(s)=\frac{K\left(T_{a} s+1\right)\left(T_{b} s+1\right)}{s^{2}(T s+1)}
para os seguintes dois casos:
T_{a}>T>0, \quad T_{b}>T>0

Passo 1

O enunciado pede os diagramas de Nyquist (polar) de
G(s)H(s)=\frac{K\,(T_a s+1)\,(T_b s+1)}{s^2\,(T s+1)}
nos dois cenários em que as constantes de tempo dos zeros são maiores do que a do polo real, a saber
  1. T<T_a<T_b
  2. T<T_b<T_a
    O conteúdo é análise de resposta em frequência e construção do traçado polar, no plano complexo, do laço aberto G(j\omega)H(j\omega) para \omega de 0 a \infty.

Passo 2

Substituímos s=j\omega e separamos módulo e fase:
G(j\omega)H(j\omega) =K\, \frac{(j\,\omega T_a+1)(j\,\omega T_b+1)} {(j\,\omega)^2\,(1+j\,\omega T)}.
O módulo é
\bigl|G(j\omega)H(j\omega)\bigr| =K\, \frac{\sqrt{1+(\omega T_a)^2}\,\sqrt{1+(\omega T_b)^2}} {\omega^2\,\sqrt{1+(\omega T)^2}},
e a fase é
\varphi(\omega) =\underbrace{\arctan(\omega T_a)}_{\text{zero}_a} +\underbrace{\arctan(\omega T_b)}_{\text{zero}_b} \;-\;180^\circ \;-\;\underbrace{\arctan(\omega T)}_{\text{polo real}}.

Passo 3

Analisamos os extremos de frequência para saber onde o traçado começa e termina:
  • \omega\to0^+:
    \sqrt{1+(\omega T_i)^2}\approx1, \omega^2\to0, \sqrt{1+(\omega T)^2}\approx1.
    Módulo \to\infty.
    Fase \to0+0-180-0=-180^\circ.
    Então o traço inicia no “infinito” sobre o eixo real negativo, com ângulo -180^\circ.
  • \omega\to\infty:
    \sqrt{1+(\omega T_i)^2}\approx\omega T_i, módulo \sim K\,T_aT_b/(T\,\omega)\to0.
    Fase \to90+90-180-90=-90^\circ.
    O traço termina na origem, aproximando-se do semieixo imaginário negativo.

Passo 4

As frequências de transição são
\omega_{za}=\frac1{T_a},\quad \omega_{zb}=\frac1{T_b},\quad \omega_{p}=\frac1T.
Cada zero faz a fase subir +90^\circ (no intervalo de uma década antes a uma depois de \omega_{z}), e o polo real faz a fase cair -90^\circ em torno de \omega_p. Como T<T_i, temos \omega_{z_i}<\omega_p.

Passo 5

Caso 1: T< T_a< T_b. A ordem crescente de frequências é
\omega_{zb}=\tfrac1{T_b} \;<\; \omega_{za}=\tfrac1{T_a} \;<\; \omega_{p}=\tfrac1T.
Traçado polar qualitativo (setas indicam o sentido de \omega crescente):
imag
|
|
início •——————→ curva → termina
( \omega\to0, ângulo – 180\circ)
‾‾‾‾‾‾‾‾
|
|
real
Em detalhe, à medida que \omega ultrapassa \omega_{zb}, a fase começa a subir; em seguida, perto de \omega_{za} ela já ganhou ~ +90\circ dos dois zeros; em torno de \omega_p a fase cai ~ -90\circ pelo polo real, acabando em – 90\circ no fim.

Passo 6

Caso 2: T< T_b< T_a. Agora
\omega_{za}=\tfrac1{T_a} \;<\; \omega_{zb}=\tfrac1{T_b} \;<\; \omega_{p}=\tfrac1T
é apenas a inversão na ordem dos dois zeros. O traçado polar fica qualitativamente igual—começa em – 180\circ no infinito real negativo e vai curvando, ganhando fase em dois “golpes” conforme atinge cada \omega_{z}, depois perdendo um pouco em \omega_p, e termina em – 90\circ no ponto de origem. A única diferença é a posição do “joelho” (inflection) do primeiro e do segundo zero, invertida em relação ao Caso 1.

Resposta

Os diagramas polares para os dois casos são arcos que partem de -\infty no eixo real negativo a -180^\circ, curvam progressivamente ganhando fase em faixas centrais (uma em cada \omega_{z_i}), perdem fase em torno de \omega_p, e chegam à origem no ângulo -90^\circ. A única diferença entre os casos é a ordem das duas inflexões (a do zero cuja constante de tempo é maior aparece sempre primeiro).

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