B.7.2 Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K\left(T_{2} s+1\right)}{T_{1} s+1}
Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada r(t)=R \operatorname{sen} \omega t.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha fechada
\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K\bigl(T_{2}s+1\bigr)}{T_{1}s+1}
e pede a resposta em regime permanente quando a entrada é
r(t) = R \operatorname{sen} \omega t.
O conteúdo aqui é análise de resposta a senoidal usando a substituição s = j\omega e expressões de magnitude e fase.

Passo 2

Para regime permanente a saída senoidal satisfaz
c_{\text{ss}}(t) = \bigl|H(j\omega)\bigr|\,R \operatorname{sen}\bigl(\omega t + \varphi\bigr)
onde
H(j\omega) = \frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} = \frac{K\bigl(1 + j\,T_{2}\omega\bigr)}{1 + j\,T_{1}\omega}.

Passo 3

Calculamos a magnitude de H(j\omega):
\bigl|H(j\omega)\bigr| = K \,\frac{\sqrt{1 + \bigl(T_{2}\omega\bigr)^{2}}}{\sqrt{1 + \bigl(T_{1}\omega\bigr)^{2}}}.
E o deslocamento de fase \varphi é a diferença das fases dos termos numerador e denominador:
\varphi = \arg\bigl(1 + j\,T_{2}\omega\bigr) \;-\;\arg\bigl(1 + j\,T_{1}\omega\bigr) = \arctan\bigl(T_{2}\omega\bigr)\;-\;\arctan\bigl(T_{1}\omega\bigr).

Passo 4

Substituindo em c_{\text{ss}}(t), obtemos a resposta em regime permanente:
c_{\text{ss}}(t) = R\,K\, \frac{\sqrt{1 + \bigl(T_{2}\omega\bigr)^{2}}}{\sqrt{1 + \bigl(T_{1}\omega\bigr)^{2}}} \;\operatorname{sen}\Bigl(\omega t + \arctan\bigl(T_{2}\omega\bigr) - \arctan\bigl(T_{1}\omega\bigr)\Bigr).

Resposta

c_{\text{ss}}(t) = R\,K\, \frac{\sqrt{1 + \bigl(T_{2}\omega\bigr)^{2}}}{\sqrt{1 + \bigl(T_{1}\omega\bigr)^{2}}} \;\operatorname{sen}\Bigl(\omega t + \arctan\bigl(T_{2}\omega\bigr) - \arctan\bigl(T_{1}\omega\bigr)\Bigr).

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