Desenhe diversos exemplos da família de curvas integrais.
Passo 1
Beleza! Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo aqui é desenhar diferentes exemplos da família de curvas integrais dessa equação. Basicamente, isso significa que vamos encontrar a solução geral da equação e ver como diferentes constantes nessa solução geram diferentes curvas quando representadas no gráfico.
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão para identificar os coeficientes que vamos usar no método do fator integrante. A forma padrão é:
Comparando com a nossa equação:
vemos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
Substituindo o valor de
:
Como estamos lidando com funções contínuas no contexto dos gráficos, podemos simplificar e escrever:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A beleza desse passo é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 7
Para desenhar diversos exemplos dessa família de curvas, basta escolher diferentes valores para
e traçar as correspondentes parábolas. Por exemplo:
- Para
: (uma parábola simples) - Para
: (parábola deslocada) - Para
: (parábola em outra direção)
Cada valor de
altera a posição ou a inclinação da parábola, mas todas mantêm a característica de serem curvas quadráticas.
Resumo Final
Resolvendo a equação diferencial
pelo método do fator integrante, encontramos que a solução geral é:
Essa solução representa uma família de parábolas que variam de acordo com o valor da constante
.
Resposta
A família de curvas integrais da equação
é dada por:
onde
é uma constante real que pode assumir diferentes valores, gerando assim diferentes curvas no gráfico.