Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais 
  e 
 .
O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais com condições iniciais e funções forçadoras definidas por partes. Vamos precisar aplicar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e considerar as diferentes partes da função forçadora.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação homogênea é:
onde 
  e 
  são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como a função forçadora é diferente em dois intervalos de 
 , vamos considerar cada caso separadamente.
Para 
 :
A equação fica:
Vamos supor uma solução particular da forma:
Derivando, temos:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para 
  é:
Para 
 :
A equação fica:
Vamos supor uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para 
  é:
Passo 4
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo.
Para 
 :
Para 
 :
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes 
  e 
 .
Primeiro, para 
 :
Agora, derivamos 
  para 
 :
Aplicando 
 :
Então, a solução para 
  fica:
Passo 6
Para garantir que a solução seja contínua em 
 , devemos igualar as soluções de ambos os intervalos em 
 .
Calculamos 
  usando a solução para 
 :
Essa será igual à solução para 
 :
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Para simplificar, podemos resolver as constantes 
  e 
 . Assumindo que a derivada também seja contínua, repetimos o processo para derivadas.
Derivando 
  para 
 :
Igualamos as derivadas em 
 :
Derivada da solução 
 :
Derivada da solução 
 :
Igualando:
Agora temos um sistema de duas equações:
- 
,  - 
.  
Resolvendo esse sistema, encontramos 
  e 
 .
Resposta
Após resolver o sistema, a solução geral da equação diferencial é:
onde 
  e 
  são constantes determinadas pelas condições de continuidade em 
 .