Desenhe a imagem:
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe a imagem da aplicação paramétrica
Informações dadas que vou usar:
O que quero obter: a descrição geométrica (e instruções de desenho) do conjunto imagem
no plano
.
Passo 2
Relaciono as coordenadas: se
e
, então substituindo
em
obtenho
Portanto todo ponto da imagem satisfaz a equação
Além disso, como
toma somente valores entre
e
, temos
Conclusão parcial: a imagem está contida no ramo da parábola
com
variando em
.
Passo 3
Identifico pontos especiais (úteis para desenhar e entender o movimento):
Esses pontos mostram que o ponto percorre a parábola entre
,
, volta a
, vai a
e retorna a
, repetindo-se periodicamente.
Passo 4
Mostro que toda abscissa
realmente aparece: para dado
existe
tal que
(por exemplo
). Para a mesma
há outro
na mesma volta:
. Então cada ponto
com
tem pelo menos duas pré-imagens por período, salvo nos extremos
e no ponto
(que é atingido várias vezes). Isso significa que a parametrização “ordena” os pontos da parábola indo e voltando sobre o mesmo arco.
Passo 5
Estudo a direção do movimento (orientação) calculando a derivada:
Quando
(isto é,
módulo
), a abscissa
aumenta; quando
ela diminui. Assim, por exemplo, para
de
a
o ponto vai de
até
(x cresce), e para
de
a
ele volta de
a
(x decresce). Em resumo: o movimento é “vai e volta” sobre o mesmo arco da parábola.
Passo 6
Conecto com a derivada da parábola: a inclinação do gráfico como função de
aparece por
quando
. Como
, isso dá
o que é exatamente a derivada da função
. Isso confirma coerência: a parametrização segue a parábola com a inclinação correta em cada ponto.
Passo 7
Instruções passo a passo para desenhar (faça isso à mão na prova, é rápido):
- Desenhe o sistema de eixos
- . - Trace a parábola
(padrão), mas marque só a parte com . - Marque os pontos-chave
, e . - Indique setas mostrando o movimento: por exemplo, uma seta de
para correspondente a , depois seta de de volta para para , e assim por diante (repetindo periodicamente). - Se quiser, anote alguns valores intermédios usando
para obter pontos adicionais (por exemplo dá ) para guiar o traço.
Passo 8
Intuição final e dica para a prova: pensar em
transforma a parametrização em
com
. Então a imagem é simplesmente o arco da parábola entre
e
, passando por
. Na prova, basta apontar a relação
e o intervalo de
para justificar o desenho — depois, se pedirem orientação, use os valores de
e
como aqui.