Desenhe a imagem:
F(t)=\left(\sin t, \sin ^{2} t\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe a imagem da aplicação paramétrica
F(t)=\big(\sin t,\;\sin^{2}t\big).
Informações dadas que vou usar:
\text{para todo }t\in\mathbb{R},\quad x=\sin t,\quad y=\sin^{2}t.
O que quero obter: a descrição geométrica (e instruções de desenho) do conjunto imagem F(\mathbb{R}) no plano (x,y).

Passo 2

Relaciono as coordenadas: se x=\sin t e y=\sin^{2}t, então substituindo x em y obtenho
y=(\sin t)^{2}=x^{2}.
Portanto todo ponto da imagem satisfaz a equação
y=x^{2}.
Além disso, como \sin t toma somente valores entre -1 e 1, temos
-1\le x\le 1.
Conclusão parcial: a imagem está contida no ramo da parábola \,y=x^{2}\, com x variando em [-1,1].

Passo 3

Identifico pontos especiais (úteis para desenhar e entender o movimento):
\begin{aligned} t&=0 &\Rightarrow&\quad (\sin 0,\sin^{2}0)=(0,0),\\\ t&=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow&\quad (\sin\tfrac{\pi}{2},\sin^{2}\tfrac{\pi}{2})=(1,1),\\\ t&=\pi &\Rightarrow&\quad (\sin\pi,\sin^{2}\pi)=(0,0),\\\ t&=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow&\quad (\sin\tfrac{3\pi}{2},\sin^{2}\tfrac{3\pi}{2})=(-1,1),\\\ t&=2\pi &\Rightarrow&\quad (\sin 2\pi,\sin^{2}2\pi)=(0,0). \end{aligned}
Esses pontos mostram que o ponto percorre a parábola entre (0,0), (1,1), volta a (0,0), vai a (-1,1) e retorna a (0,0), repetindo-se periodicamente.

Passo 4

Mostro que toda abscissa x\in(-1,1) realmente aparece: para dado x\in[-1,1] existe t tal que \sin t=x (por exemplo t=\arcsin x). Para a mesma x há outro t na mesma volta: t'=\pi-\arcsin x. Então cada ponto (x,x^{2}) com x\in(-1,1) tem pelo menos duas pré-imagens por período, salvo nos extremos x=\pm1 e no ponto x=0 (que é atingido várias vezes). Isso significa que a parametrização “ordena” os pontos da parábola indo e voltando sobre o mesmo arco.

Passo 5

Estudo a direção do movimento (orientação) calculando a derivada:
F'(t)=\big(\cos t,\;2\sin t\cos t\big)=\big(\cos t,\;\sin 2t\big).
Quando \cos t>0 (isto é, t\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) módulo 2\pi), a abscissa x=\sin t aumenta; quando \cos t<0 ela diminui. Assim, por exemplo, para t de 0 a \tfrac{\pi}{2} o ponto vai de (0,0) até (1,1) (x cresce), e para t de \tfrac{\pi}{2} a \pi ele volta de (1,1) a (0,0) (x decresce). Em resumo: o movimento é “vai e volta” sobre o mesmo arco da parábola.

Passo 6

Conecto com a derivada da parábola: a inclinação do gráfico como função de x aparece por
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2\sin t\cos t}{\cos t}=2\sin t,
quando \cos t\neq0. Como x=\sin t, isso dá
\frac{dy}{dx}=2x,
o que é exatamente a derivada da função y=x^{2}. Isso confirma coerência: a parametrização segue a parábola com a inclinação correta em cada ponto.

Passo 7

Instruções passo a passo para desenhar (faça isso à mão na prova, é rápido):
  1. Desenhe o sistema de eixos x- y.
  2. Trace a parábola y=x^{2} (padrão), mas marque só a parte com -1\le x\le1.
  3. Marque os pontos-chave (0,0), (1,1) e (-1,1).
  4. Indique setas mostrando o movimento: por exemplo, uma seta de (0,0) para (1,1) correspondente a t:0\to\tfrac{\pi}{2}, depois seta de (1,1) de volta para (0,0) para t:\tfrac{\pi}{2}\to\pi, e assim por diante (repetindo periodicamente).
  5. Se quiser, anote alguns valores intermédios usando \sin para obter pontos adicionais (por exemplo \sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2} (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})) para guiar o traço.

Passo 8

Intuição final e dica para a prova: pensar em u=\sin t transforma a parametrização em (u,u^{2}) com u\in[-1,1]. Então a imagem é simplesmente o arco da parábola entre (-1,1) e (1,1), passando por (0,0). Na prova, basta apontar a relação y=x^{2} e o intervalo de x para justificar o desenho — depois, se pedirem orientação, use os valores de t e F'(t) como aqui.

Resposta

\displaystyle F(\mathbb{R})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le x\le1,\;y=x^{2}\}

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