Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}}; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) ) \vec{F}(t)=\sqrt[3]{t^{2}} \vec{i}+t^{2} \vec{j}+3 t \vec{k}, \quad t_{0}=1;
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá a função vetorial e o ponto onde vamos trabalhar:
Pedidos:
Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}.
Determinar a reta tangente ao gráfico (curva parametrizada) no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr).
Primeira componente: F_x(t)=\sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=t^{2/3}.
Método (cadeia/potência): seja u=t^{2}. Então F_x=(u)^{1/3}. Pela regra da cadeia,\frac{dF_x}{dt}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot\frac{du}{dt}=\frac{1}{3} (t^{2})^{-2/3}\cdot 2t.Simplificando:\frac{dF_x}{dt}=\frac{2}{3}\,t\,(t^{2})^{-2/3}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}.Observação: também se obtém direto pela regra da potência: d(t^{2/3})/dt=(2/3)t^{-1/3} (válido para t\neq0, e em t=1 é perfeitamente válido).
Segunda componente: F_y(t)=t^{2}. Pela regra da potência,
Agora a reta tangente no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr). A forma vetorial usual da reta tangente (curva parametrizada por t) é
\vec{r}(s)=\vec{F}(t_{0})+s\,\vec{F}'(t_{0}),
onde s é um parâmetro ao longo da reta (ou, alternativamente, usando o mesmo parâmetro t da curva, uma forma conveniente é \vec{r}(t)=\vec{F}(t_{0})+(t-t_{0})\vec{F}'(t_{0})). Usando t_{0}=1 e os valores calculados,