Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}}; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) )
\vec{F}(t)=\sqrt[3]{t^{2}} \vec{i}+t^{2} \vec{j}+3 t \vec{k}, \quad t_{0}=1;

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá a função vetorial e o ponto onde vamos trabalhar:
  • Pedidos:
    1. Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
    2. Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}.
    3. Determinar a reta tangente ao gráfico (curva parametrizada) no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr).
  • Dados:
    \vec{F}(t)=\sqrt[3]{t^{2}}\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}+3t\,\vec{k}, \qquad t_{0}=1.
    Observação: \sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=t^{2/3} para t\neq0; podemos tratar a derivação usando potências fracionárias.

Passo 2

Como se deriva uma função vetorial? Resposta simples e prática: derivamos componente a componente. Se
\vec{F}(t)=F_x(t)\,\vec{i}+F_y(t)\,\vec{j}+F_z(t)\,\vec{k},
então
\frac{d\vec{F}}{dt}=\frac{dF_x}{dt}\,\vec{i}+\frac{dF_y}{dt}\,\vec{j}+\frac{dF_z}{dt}\,\vec{k}.
Agora aplicamos isso às componentes dadas.
Primeira componente: F_x(t)=\sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=t^{2/3}.
  • Método (cadeia/potência): seja u=t^{2}. Então F_x=(u)^{1/3}. Pela regra da cadeia, \frac{dF_x}{dt}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot\frac{du}{dt}=\frac{1}{3} (t^{2})^{-2/3}\cdot 2t.Simplificando: \frac{dF_x}{dt}=\frac{2}{3}\,t\,(t^{2})^{-2/3}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}.Observação: também se obtém direto pela regra da potência: d(t^{2/3})/dt=(2/3)t^{-1/3} (válido para t\neq0, e em t=1 é perfeitamente válido).
Segunda componente: F_y(t)=t^{2}. Pela regra da potência,
\frac{dF_y}{dt}=2t.
Terceira componente: F_z(t)=3t. Derivada:
\frac{dF_z}{dt}=3.
Portanto, a derivada primeira é
\boxed{\displaystyle \frac{d\vec{F}}{dt}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}\,\vec{i}+2t\,\vec{j}+3\,\vec{k}.}

Passo 3

Agora a segunda derivada: derivamos novamente cada componente de \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
Primeira componente já era \dfrac{2}{3}t^{-1/3}. Usamos a regra da potência:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{2}{3}t^{-1/3}\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)t^{-4/3}=-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}.
Segunda componente era 2t, então sua derivada é 2.
Terceira componente era 3, derivada é 0.
Portanto,
\boxed{\displaystyle \frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}\,\vec{i}+2\,\vec{j}+0\,\vec{k}.}

Passo 4

Agora avaliamos \vec{F}(t), \dfrac{d\vec{F}}{dt} e \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}} em t_{0}=1.
Calculemos \vec{F}(1):
\vec{F}(1)=\sqrt[3]{1^{2}}\,\vec{i}+1^{2}\,\vec{j}+3\cdot1\,\vec{k} =\;1\,\vec{i}+1\,\vec{j}+3\,\vec{k}=(1,1,3).
Calculemos \dfrac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=1}:
\frac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=1}=\frac{2}{3}\cdot1^{-1/3}\,\vec{i}+2\cdot1\,\vec{j}+3\,\vec{k} =\frac{2}{3}\,\vec{i}+2\,\vec{j}+3\,\vec{k}=\left(\tfrac{2}{3},2,3\right).
Calculemos \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Big|_{t=1}:
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Big|_{t=1}=-\frac{2}{9}\cdot1^{-4/3}\,\vec{i}+2\,\vec{j}+0\,\vec{k} =-\frac{2}{9}\,\vec{i}+2\,\vec{j}+0\,\vec{k}=\left(-\tfrac{2}{9},2,0\right).

Passo 5

Agora a reta tangente no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr). A forma vetorial usual da reta tangente (curva parametrizada por t) é
\vec{r}(s)=\vec{F}(t_{0})+s\,\vec{F}'(t_{0}),
onde s é um parâmetro ao longo da reta (ou, alternativamente, usando o mesmo parâmetro t da curva, uma forma conveniente é \vec{r}(t)=\vec{F}(t_{0})+(t-t_{0})\vec{F}'(t_{0})). Usando t_{0}=1 e os valores calculados,
\vec{r}(t)=\vec{F}(1)+(t-1)\,\frac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=1}.
Substituindo os vetores:
\vec{r}(t)=(1,1,3)+(t-1)\left(\tfrac{2}{3},2,3\right).
Se quisermos escrever componente a componente:
\vec{r}(t)=\left(1+\tfrac{2}{3}(t-1),\;1+2(t-1),\;3+3(t-1)\right).
Podemos simplificar algumas componentes:
\vec{r}(t)=\left(1+\tfrac{2}{3}(t-1),\;2t-1,\;3t\right).

Resposta

\displaystyle \frac{d\vec{F}}{dt}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}\,\vec{i}+2t\,\vec{j}+3\,\vec{k}.
\displaystyle \frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}\,\vec{i}+2\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
\displaystyle \text{Reta tangente: }\vec{r}(t)=\vec{F}(1)+(t-1)\frac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=1}=(1,1,3)+(t-1)\left(\tfrac{2}{3},2,3\right).

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