Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\quad \sigma(t)=(2+\cos t, 3+4 \operatorname{sen} t), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\sigma(t) = (\,2+\cos t,\;3+4\sin t\,),\qquad 0\le t\le 2\pi,
e pede para desenhar a imagem dessa curva no plano.
Informações relevantes que temos:
  • As componentes são x(t)=2+\cos t e y(t)=3+4\sin t.
  • O parâmetro t varia em [0,2\pi] (um período completo).
  • Queremos saber que curva no plano esses pontos traçam (forma, centro, e orientação do percurso).

Passo 2

Eliminação do parâmetro para identificar a curva (passo-a-passo):
  1. Escrevo as igualdades das componentes em forma isolada:
x-2=\cos t,\qquad y-3=4\sin t.
  1. Isolo \sin t e \cos t em termos de x e y:
\cos t = x-2,\qquad \sin t = \frac{y-3}{4}.
  1. Uso a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Substituo as expressões em x,y:
(x-2)^{2} + \left(\frac{y-3}{4}\right)^{2} = 1.
  1. Reescrevendo na forma padrão de uma elipse:
\frac{(x-2)^{2}}{1^{2}} + \frac{(y-3)^{2}}{4^{2}} = 1.
Conclusão desta etapa: a imagem é uma elipse (equação acima).

Passo 3

Interpretação geométrica da equação obtida:
  • Centro da elipse: (2,3) (os termos x-2 e y-3 deslocam o centro).
  • Semi-eixo horizontal (semieixo ao longo de x): a=1.
  • Semi-eixo vertical (semieixo ao longo de y): b=4.
  • Portanto, a elipse é alinhada com os eixos coordenados, tem largura total 2a=2 e altura total 2b=8.
  • Intervalos das coordenadas: x\in[2-1,\,2+1]=[1,3],\qquad y\in[3-4,\,3+4]=[-1,7].

Passo 4

Pontos notáveis (úteis para o desenho): calcular para valores de t em que \cos t ou \sin t sejam \pm1 ou 0.
  • t=0: \sigma(0)=(2+\cos 0,\,3+4\sin 0)=(2+1,\,3+0)=(3,3) — ponto mais à direita.
  • t=\tfrac{\pi}{2}: \sigma(\tfrac{\pi}{2})=(2+0,\,3+4\cdot1)=(2,7) — ponto superior.
  • t=\pi: \sigma(\pi)=(2-1,\,3+0)=(1,3) — ponto mais à esquerda.
  • t=\tfrac{3\pi}{2}: \sigma(\tfrac{3\pi}{2})=(2+0,\,3+4\cdot(-1))=(2,-1) — ponto inferior.
  • t=2\pi: retorna a (3,3) — curva fechada.

Passo 5

Orientação (sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta):
  • Derivada paramétrica:
\sigma'(t)=(-\sin t,\;4\cos t).
  • Avalio em t=0: \sigma'(0)=(0,4), vetor apontando para cima — ao sair do ponto mais à direita (3,3) a trajetória sobe em direção ao ponto superior (2,7).
  • Isso mostra que o percurso é no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico) quando t aumenta de 0 a 2\pi.

Passo 6

Como desenhar passo a passo (método prático que dá certo na prova, sem régua complicada):
  1. Marque o centro (2,3).
  2. Desenhe o retângulo auxiliar com vértices (2\pm a,\,3\pm b), ou seja, pontos (3,7),(1,7),(1,-1),(3,-1). A elipse ficará tangente aos lados desse retângulo.
  3. Marque os pontos notáveis calculados: direita (3,3), cima (2,7), esquerda (1,3), baixo (2,-1).
  4. Esboce a elipse suave que toca os lados do retângulo e passa por esses pontos, ligando-os de modo contínuo e simétrico.
  5. Indique a orientação com uma seta no sentido anti-horário e marque o ponto inicial t=0 em (3,3).
Dica rápida de entendimento: (x,y)=(x_{0}+a\cos t,\;y_{0}+b\sin t) é sempre uma elipse centrada em (x_{0},y_{0}) com semi-eixos a e b. Aqui foi exatamente esse caso com x_{0}=2,\;y_{0}=3,\;a=1,\;b=4.

Passo 7

Resumo e incentivo curto: fizemos a eliminação do parâmetro para ver que a imagem é uma elipse centrada em (2,3), achamos os pontos principais e a orientação; agora é só desenhar com o retângulo guia e marcar a seta no sentido anti-horário. Você vai conseguir — pratique desenhando uma vez que fica bem claro!

Resposta

\frac{(x-2)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-3)^{2}}{4^{2}}=1
Centro (2,3); semi-eixo horizontal a=1, semi-eixo vertical b=4; intervalo de x: [1,3], de y: [-1,7].
Pontos notáveis: t=0\Rightarrow(3,3), t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow(2,7), t=\pi\Rightarrow(1,3), t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow(2,-1).
Sentido de percurso: anti-horário (começa em (3,3) para t=0).

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