Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para desenhar a imagem dessa curva no plano.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- As componentes são
e . - O parâmetro
varia em (um período completo). - Queremos saber que curva no plano esses pontos traçam (forma, centro, e orientação do percurso).
Passo 2
Eliminação do parâmetro para identificar a curva (passo-a-passo):
- Escrevo as igualdades das componentes em forma isolada:
- Isolo
e em termos de e :
- Uso a identidade trigonométrica fundamental
. Substituo as expressões em :
- Reescrevendo na forma padrão de uma elipse:
Conclusão desta etapa: a imagem é uma elipse (equação acima).
Passo 3
Interpretação geométrica da equação obtida:
- Centro da elipse:
(os termos e deslocam o centro). - Semi-eixo horizontal (semieixo ao longo de
): . - Semi-eixo vertical (semieixo ao longo de
): . - Portanto, a elipse é alinhada com os eixos coordenados, tem largura total
e altura total . - Intervalos das coordenadas:
Passo 4
Pontos notáveis (úteis para o desenho): calcular para valores de
em que
ou
sejam
ou
.
-
— ponto mais à direita. -
— ponto superior. -
— ponto mais à esquerda. -
— ponto inferior. -
retorna a — curva fechada.
Passo 5
Orientação (sentido em que a curva é percorrida quando
aumenta):
- Derivada paramétrica:
- Avalio em
: , vetor apontando para cima — ao sair do ponto mais à direita a trajetória sobe em direção ao ponto superior . - Isso mostra que o percurso é no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido trigonométrico) quando
aumenta de a .
Passo 6
Como desenhar passo a passo (método prático que dá certo na prova, sem régua complicada):
- Marque o centro
. - Desenhe o retângulo auxiliar com vértices
, ou seja, pontos . A elipse ficará tangente aos lados desse retângulo. - Marque os pontos notáveis calculados: direita
, cima , esquerda , baixo . - Esboce a elipse suave que toca os lados do retângulo e passa por esses pontos, ligando-os de modo contínuo e simétrico.
- Indique a orientação com uma seta no sentido anti-horário e marque o ponto inicial
em .
Dica rápida de entendimento:
é sempre uma elipse centrada em
com semi-eixos
e
. Aqui foi exatamente esse caso com
.
Passo 7
Resumo e incentivo curto: fizemos a eliminação do parâmetro para ver que a imagem é uma elipse centrada em
, achamos os pontos principais e a orientação; agora é só desenhar com o retângulo guia e marcar a seta no sentido anti-horário. Você vai conseguir — pratique desenhando uma vez que fica bem claro!
Resposta
Centro
; semi-eixo horizontal
, semi-eixo vertical
; intervalo de
:
, de
:
.
Pontos notáveis: ,
,
,
.
Sentido de percurso: anti-horário (começa em para
).
Pontos notáveis:
Sentido de percurso: anti-horário (começa em