Determine a Transformada Z e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
c) x[n]=n(2^-n u[n] * 2^-n u[n])

Passo 1

Beleza, o problema pede a Transformada de Z e a região de convergência (ROC) de
x[n]=n;l(2^-nu[n]*2^-nu[n]r),
Estamos vendo Transformada de Z, então vamos usar:
- A definição de convolução discreta: .
- Algumas somas de séries geométricas e as fórmulas conhecidas para e .
- Propriedade da Transformada de Z que vincula multiplicar por no tempo a uma derivada no .

Passo 2

Primeiro, calcula a convolução
y[n]=2^-nu[n]*2^-nu[n],
Por definição, para y[n]=sumk=0^n2^-k;2^-(n-k) =sumk=0^n2^-n =(n+1),2^-n, :
$$
y[n]=\sum_{k=0}n2{-k};2^{-(n-k)}
=\sum_{k=0}n2{-n}
=(n+1),2^{-n},.
y[n]=(n+1),2^-nu[n], y[n]=(n+1),2^{-n}u[n],. $$

Passo 3

Agora monta x[n]=n;y[n]=n,(n+1),2^-nu[n], :
X(z)=sumn=0^inftyn(n+1),2^-n,z^-n,
Então precisamos achar

Passo 4

Use a soma
sumn=0^infty n(n+1)a^n =sum n^2a^n+sum n,a^n =a(1+a)(1-a)^3+a(1-a)^2 =2a(1-a)^3,
e
X(z) =sumn=0^infty n(n+1)l(2^-1z^-1r)^n =2,(2^-1z^-1)l(1-2^-1z^-1r)^3 =z^-1l(1-tfrac12z^-1r)^3, .
Como , temos
No nosso caso . Logo

Passo 5

Para a região de convergência, a soma só converge se llverttfrac12,z^-1rrvert<1 Longrightarrow|z|> tfrac12, , ou seja

Resposta

X(z)=z^-1l(1-tfrac12,z^-1r)^3 com ROC: |z|>tfrac12,

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