Desenhe \Omega(k) em função de k a na primeira zona de Brillouin. Explique o que acontece com a velocidade de fase e a velocidade de grupo para pontos tais que k a \rightarrow 0. Por que neste caso os
fonôns são chamados “acústicos” ?. Mostre que a velocidade de propagação destas ondas acústicas é
V_{\mathrm{ac}}=\sqrt{\frac{\bar{\gamma}}{m}} a .
Explique o que acontece para o caso k a \rightarrow \pi.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados:
  • Pedem para desenhar \Omega(k) em função de k a na primeira zona de Brillouin (ou seja para 0\le k a \le \pi).
  • Pedem para explicar o comportamento da velocidade de fase e da velocidade de grupo quando k a \rightarrow 0.
  • Pedem para justificar por que, nesse limite, os fônons são chamados “acústicos”.
  • Pedem para mostrar que a velocidade de propagação dessas ondas acústicas é
V_{\mathrm{ac}}=\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\, a .
  • Pedem ainda para explicar o que acontece no limite k a \rightarrow \pi.
Informações implícitas (modelo físico usado aqui):
  • Trata-se do modelo de cadeia linear monoatômica com massa m em cada sítio, ligações elásticas entre vizinhos com constante elástica \bar{\gamma} e passo de rede a. Esse é o caso padrão que leva à expressão pedida para V_{\mathrm{ac}}.

Passo 2

Equação de movimento e ansatz de onda harmônica: ensino rápido do método.
  • Num ponto n da cadeia, deslocamento em função do tempo é u_n(t).
  • Força total sobre a massa n (apenas vizinhos n\pm1) é \bar{\gamma}(u_{n+1}-u_n)+\bar{\gamma}(u_{n-1}-u_n).
  • Equação de Newton:
m\ddot{u}_n=\bar{\gamma}(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}).
  • Procuramos soluções do tipo onda normal (ansatz harmônico espacialmente periódico):
u_n(t)=U\,e^{i(k n a - \Omega t)},
onde U é amplitude complexa (irrelevante para a frequência), k é o número de onda, a o passo de rede, \Omega a frequência angular. Explico: k mede quantas oscilações por comprimento; \Omega é a frequência temporal. Inserir este u_n na equação de movimento permite obter a relação de dispersão \Omega(k).

Passo 3

Derivação da relação de dispersão passo a passo.
  • Calculo dos termos:
u_{n\pm1}=U e^{i(k(n\pm1)a-\Omega t)}=U e^{i(kna-\Omega t)} e^{\pm i k a}.
  • Substituindo em m\ddot{u}_n=\bar{\gamma}(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}):
-m\Omega^2 U e^{i(k n a-\Omega t)}=\bar{\gamma} U e^{i(k n a-\Omega t)}\big(e^{i k a}-2+e^{-i k a}\big).
  • Cancelando o fator comum U e^{i(k n a-\Omega t)} e usando e^{i k a}+e^{-i k a}=2\cos(k a), obtemos
-m\Omega^2=\bar{\gamma}\big(2\cos(k a)-2\big)= -4\bar{\gamma}\sin^2\!\left(\dfrac{k a}{2}\right).
  • Portanto
\Omega^2= \dfrac{4\bar{\gamma}}{m}\sin^2\!\left(\dfrac{k a}{2}\right).
  • Tomando a raiz positiva (frequência angular positiva) e restringindo à primeira zona de Brillouin 0\le k a\le \pi onde \sin é não-negativa, obtemos a relação de dispersão:
\Omega(k)=2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\;\sin\!\left(\dfrac{k a}{2}\right).

Passo 4

Descrição do gráfico \Omega versus k a na primeira zona de Brillouin.
  • Para k a=0: \Omega(0)=0.
  • Para k a=\pi: \Omega(\pi)=2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}.
  • Entre 0 e \pi: \Omega(k) tem a forma de meia-seno crescente (mais precisamente é proporcional a \sin(k a/2)), começando em zero com inclinação positiva e saturando em \Omega_{\max}=2\sqrt{\bar{\gamma}/m} no extremo k a=\pi.
  • Gráfico qualitativo (para imaginar): eixo horizontal k a de 0 a \pi; eixo vertical \Omega subindo suavemente de 0 até 2\sqrt{\bar{\gamma}/m} com a curvatura típica do seno.

Passo 5

Definição e cálculo das velocidades de fase e de grupo (aula rápida).
  • Velocidade de fase v_{\mathrm{ph}} é definida por
v_{\mathrm{ph}}(k)=\dfrac{\Omega(k)}{k}.
Interpretação: velocidade com que uma fase fixa da onda (ex.: frente de crista) se move.
  • Velocidade de grupo v_{\mathrm{g}} é dada por
v_{\mathrm{g}}(k)=\dfrac{d\Omega}{d k}.
Interpretação: velocidade de transporte de energia/informação do pacote de ondas (ou do fóton/phonon quanta).
  • Derivo v_{\mathrm{g}} a partir de \Omega:
v_{\mathrm{g}}(k)=\dfrac{d}{dk}\left[2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\sin\!\left(\dfrac{k a}{2}\right)\right] =2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\cdot \cos\!\left(\dfrac{k a}{2}\right)\cdot \dfrac{a}{2}.
Portanto
v_{\mathrm{g}}(k)=a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\;\cos\!\left(\dfrac{k a}{2}\right).
  • E a velocidade de fase é
v_{\mathrm{ph}}(k)=\dfrac{2\sqrt{\bar{\gamma}/m}\,\sin\!\left(\dfrac{k a}{2}\right)}{k}.
(na prática para manipulações é útil usar o comportamento para pequenos k e para k perto de \pi/a).

Passo 6

Comportamento quando k a\rightarrow 0: expansão em série e obtenção de V_{\mathrm{ac}}.
  • Para k a pequeno, usamos a expansão de Taylor do seno:
\sin\!\left(\dfrac{k a}{2}\right)=\dfrac{k a}{2}-\dfrac{(k a)^3}{48}+\cdots.
  • Substituindo na expressão de \Omega(k):
\Omega(k)=2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\left(\dfrac{k a}{2}-\dfrac{(k a)^3}{48}+\cdots\right) = k\;a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}} + O(k^3).
  • Assim, no limite de baixas k (longas distâncias, grandes comprimentos de onda),
\Omega(k)\approx k\,\underbrace{a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}}_{\displaystyle V_{\mathrm{ac}}}.
  • Logo a dependência é linear em k e tanto a velocidade de fase quanto a de grupo tendem ao mesmo valor:
v_{\mathrm{ph}}(k)\xrightarrow[k\to0]{} \dfrac{\Omega}{k}\approx a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}, \qquad v_{\mathrm{g}}(k)\xrightarrow[k\to0]{} a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}.
Portanto mostramos que
V_{\mathrm{ac}}=a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}.
(Isto é exatamente a expressão pedida; a demonstração usou a expansão do seno e a definição de velocidades.)

Passo 7

Por que os fônons próximos de k=0 são chamados “acústicos”.
  • Interpretação física simples e didática: em k\to0 todas as massas oscilam quase em fase (deslocamentos com a mesma fase ao longo da cadeia), isso corresponde a uma onda de compressão/rareação de longo comprimento de onda — exatamente o que é uma onda sonora macroscópica (onda acústica) em um meio elástico contínuo.
  • Matemática: \Omega\propto k para k\to0 dá uma relação de dispersão linear, típica de ondas sonoras homogêneas onde a velocidade de propagação é independente de k (em primeiro pedido). Por isso esses modos são chamados acústicos — eles se comportam, no limite de grandes escalas, como ondas sonoras no contínuo.
  • Comentário encorajador: essa é a razão física universal — modos com \Omega\to0 quando k\to0 propagam distúrbios de densidade/posição em fase, como o som.

Passo 8

Comportamento quando k a\rightarrow \pi (limite da primeira zona de Brillouin).
  • Avaliando a relação de dispersão: \Omega(\pi/a)=2\sqrt{\bar{\gamma}/m}. Logo a frequência atinge o máximo permitido pela cadeia para este ramo.
  • Velocidade de grupo nesse ponto:
v_{\mathrm{g}}(k)=a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\cos\!\left(\dfrac{k a}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{g}}\Big|_{k a=\pi}=a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
Ou seja, no limite k a\to\pi a velocidade de grupo vai a zero: não há transporte de energia para frente — o modo é essencialmente estacionário (onda estacionária/onda de zona de borda).
  • Velocidade de fase em k a=\pi:
v_{\mathrm{ph}}=\dfrac{\Omega}{k} \Big|_{k a=\pi} =\dfrac{2\sqrt{\bar{\gamma}/m}}{\pi/a}=\dfrac{2a}{\pi}\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}},
isto é, finita mas não representativa de transporte de energia (porque v_{\mathrm{g}}=0).
  • Interpretação física: para k a=\pi o comprimento de onda \lambda=2\pi/k vale \lambda=2a. Isso significa que vizinhos imediatos oscilam em fase oposta (fase alternada + − + − …). O padrão é uma onda estacionária com vizinhos em antissíncrono; não propaga energia para longe (grupo nulo). Esse é o fenômeno típico no bordo da zona de Brillouin.

Resposta

\displaystyle \Omega(k)=2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}\;\sin\!\left(\dfrac{k a}{2}\right),\quad 0\le k a\le\pi.
Para k a\to0: \Omega(k)\approx k\,a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}, logo v_{\mathrm{ph}}=\dfrac{\Omega}{k}\to a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}} e v_{\mathrm{g}}=\dfrac{d\Omega}{dk}\to a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}; assim os fônons têm dispersão linear e são chamados acústicos.
\displaystyle V_{\mathrm{ac}}=a\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}}.
Para k a\to\pi: \Omega\to 2\sqrt{\dfrac{\bar{\gamma}}{m}},\; v_{\mathrm{g}}\to0 (modo estacionário com vizinhos em fase oposta), enquanto v_{\mathrm{ph}} é finita mas não indica transporte de energia.

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