Agora as grandezas P_{k} e A_{k} assumem o papel de operadores hermitianos, tal que
\hat{A}_{k}=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \Omega(k)}}\left(b_{k}+b_{-k}^{+}\right), \quad \hat{P}_{k}=i \sqrt{\frac{m \hbar \Omega(k)}{2}}\left(b_{k}^{+}-b_{-k}\right) .
Utilizando as propriedades dos operadores de criação e aniquilação de fônons ( b_{k} e b_{k}^{\dagger} ), mostre que
\left[\hat{A}_{k}, \hat{P}_{k^{\prime}}\right]=i \hbar \delta_{k, k^{\prime}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou organizar direitinho para não nos perdermos):
  • Estão definidas as grandezas-operatoras
\hat{A}_{k}=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \Omega(k)}}\left(b_{k}+b_{-k}^{\dagger}\right), \qquad \hat{P}_{k}=i \sqrt{\frac{m \hbar \Omega(k)}{2}}\left(b_{k}^{\dagger}-b_{-k}\right).
  • Precisamos mostrar que
\left[\hat{A}_{k}, \hat{P}_{k^{\prime}}\right]=i \hbar \,\delta_{k,k^{\prime}}.
  • Informações relevantes que vou usar (propriedades dos operadores de fônons, obtidas do enunciado implicitamente):
    • Para operadores bosônicos vale a comutação canônica
    \bigl[b_{q},\,b_{q'}^{\dagger}\bigr]=\delta_{q,q'},e os outros comutadores entre b e b ou entre b^{\dagger} e b^{\dagger} são nulos: \bigl[b_{q},\,b_{q'}\bigr]=0,\qquad \bigl[b_{q}^{\dagger},\,b_{q'}^{\dagger}\bigr]=0.
  • Objetivo imediato: substituir \hat{A}_{k} e \hat{P}_{k'} na definição do comutador, usar linearidade e as relações acima, e simplificar.

Passo 2

Para facilitar os cálculos, defino os fatores escalares (sempre em porque são quantidades matemáticas):
a_k \equiv \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \Omega(k)}}, \qquad p_{k'} \equiv i\sqrt{\frac{m\hbar\Omega(k')}{2}}.
Assim
\hat{A}_{k}=a_k\bigl(b_{k}+b_{-k}^{\dagger}\bigr), \qquad \hat{P}_{k'}=p_{k'}\bigl(b_{k'}^{\dagger}-b_{-k'}\bigr).
O comutador fica então
\bigl[\hat{A}_{k},\hat{P}_{k'}\bigr]=a_k\,p_{k'}\;\bigl[\,b_{k}+b_{-k}^{\dagger},\;b_{k'}^{\dagger}-b_{-k'}\,\bigr].

Passo 3

Uso a linearidade do comutador para expandir o colchete (lembrando que [X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z] e [X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]):
\begin{aligned} \bigl[\,b_{k}+b_{-k}^{\dagger},\;b_{k'}^{\dagger}-b_{-k'}\,\bigr] &= [b_{k},b_{k'}^{\dagger}] - [b_{k},b_{-k'}] + [b_{-k}^{\dagger},b_{k'}^{\dagger}] - [b_{-k}^{\dagger},b_{-k'}]. \end{aligned}

Passo 4

Agora avalio cada um dos quatro termos usando as relações bosônicas listadas no Passo 1:
  • [b_{k},b_{k'}^{\dagger}]=\delta_{k,k'}.
  • [b_{k},b_{-k'}]=0 porque comutador entre dois operadores de aniquilação é zero.
  • [b_{-k}^{\dagger},b_{k'}^{\dagger}]=0 porque comutador entre duas criações é zero.
  • Para [b_{-k}^{\dagger},b_{-k'}] uso a identidade [X^{\dagger},Y]=-[Y,X^{\dagger}] e a relação canônica: [b_{-k}^{\dagger},b_{-k'}]= -[b_{-k'},b_{-k}^{\dagger}]= -\delta_{-k',-k}.
Como \delta_{-k',-k}=\delta_{k,k'} (o delta de Kronecker é simétrico), obtemos
[b_{-k}^{\dagger},b_{-k'}]= -\delta_{k,k'}.

Passo 5

Substituindo esses resultados na soma do Passo 3:
\begin{aligned} \bigl[\,b_{k}+b_{-k}^{\dagger},\;b_{k'}^{\dagger}-b_{-k'}\,\bigr] &= \delta_{k,k'} - 0 + 0 - \bigl(-\delta_{k,k'}\bigr) = \delta_{k,k'} + \delta_{k,k'} = 2\,\delta_{k,k'}. \end{aligned}

Passo 6

Voltando ao prefator a_k p_{k'}, temos
\bigl[\hat{A}_{k},\hat{P}_{k'}\bigr]=a_k p_{k'}\;2\,\delta_{k,k'}.
Agora calculo o produto escalar a_k p_{k'}:
\begin{aligned} a_k p_{k'} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \Omega(k)}}\; i\sqrt{\frac{m\hbar\Omega(k')}{2}} = i\,\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \Omega(k)}\cdot\frac{m\hbar\Omega(k')}{2}}\\[4pt] &= i\,\sqrt{\frac{\hbar^{2}\,\Omega(k')}{4\,\Omega(k)}} = i\,\frac{\hbar}{2}\,\sqrt{\frac{\Omega(k')}{\Omega(k)}}. \end{aligned}
Portanto
\bigl[\hat{A}_{k},\hat{P}_{k'}\bigr] =2\;i\,\frac{\hbar}{2}\,\sqrt{\frac{\Omega(k')}{\Omega(k)}}\;\delta_{k,k'} = i\hbar\;\sqrt{\frac{\Omega(k')}{\Omega(k)}}\;\delta_{k,k'}.]

Passo 7

O fator \sqrt{\dfrac{\Omega(k')}{\Omega(k)}} multiplica \delta_{k,k'}. Como \delta_{k,k'} é nulo para k'\neq k e igual a 1 para k'=k, na prática, sob a presença de \delta_{k,k'} pode-se substituir \Omega(k') por \Omega(k). Assim \sqrt{\dfrac{\Omega(k')}{\Omega(k)}}\delta_{k,k'}=\delta_{k,k'}. Finalmente obtemos
\bigl[\hat{A}_{k},\hat{P}_{k'}\bigr]=i\hbar\;\delta_{k,k'}.

Resposta

\left[\hat{A}_{k}, \hat{P}_{k^{\prime}}\right]=i \hbar \,\delta_{k,k^{\prime}}

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