Agora as grandezas
e
assumem o papel de operadores hermitianos, tal que
Utilizando as propriedades dos operadores de criação e aniquilação de fônons (
), mostre que
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou organizar direitinho para não nos perdermos):
- Estão definidas as grandezas-operatoras
- Precisamos mostrar que
- Informações relevantes que vou usar (propriedades dos operadores de fônons, obtidas do enunciado implicitamente):
- Para operadores bosônicos vale a comutação canônica
e os outros comutadores entre e ou entre e são nulos: - Objetivo imediato: substituir
e na definição do comutador, usar linearidade e as relações acima, e simplificar.
Passo 2
Para facilitar os cálculos, defino os fatores escalares (sempre em
porque são quantidades matemáticas):
Assim
O comutador fica então
Passo 3
Uso a linearidade do comutador para expandir o colchete (lembrando que
e
):
Passo 4
Agora avalio cada um dos quatro termos usando as relações bosônicas listadas no Passo 1:
-
. -
porque comutador entre dois operadores de aniquilação é zero. -
porque comutador entre duas criações é zero. - Para
uso a identidade e a relação canônica:
Como
(o delta de Kronecker é simétrico), obtemos
Passo 5
Substituindo esses resultados na soma do Passo 3:
Passo 6
Voltando ao prefator
, temos
Agora calculo o produto escalar
:
Portanto
Passo 7
O fator
multiplica
. Como
é nulo para
e igual a 1 para
, na prática, sob a presença de
pode-se substituir
por
. Assim
. Finalmente obtemos