Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos, passo a passo, o diagrama de Bode para a função de transferência $ K(s) = \frac{s}{(s+2)^2(s+1)} $, onde $ s = j\omega $. Aqui, vamos usar conceitos de controle de sistemas, especificamente sobre diagramas de Bode, que nos ajudam a entender como um sistema responde a diferentes frequências. Para resolver isso, vamos precisar decompor a função de transferência em partes mais simples e analisar cada uma separadamente antes de combinar tudo no diagrama final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de transferência $ K(s) $ de uma forma que facilite a análise:
Aqui, temos um zero em $ s = 0 $ (porque o numerador é $ s $) e dois pólos em $ s = -2 $ (com multiplicidade 2) e um pólo em $ s = -1 $. No diagrama de Bode, cada zero e polo contribuem com uma inclinação específica na magnitude e determinado comportamento na fase.
Passo 3
Vamos começar analisando a contribuição de cada termo na magnitude e fase separadamente. Primeiro, consideramos o termo $ s $ no numerador.
Zero em s = 0:
- Magnitude: A presença de um zero em $ s = 0 $ contribui com um aumento de 20 dB/decade após a frequência do zero (que, nesse caso, é 0 rad/s). Isso significa que, após certo ponto, a magnitude vai aumentar linearmente na escala logarítmica.
- Fase: Um zero adiciona +90 graus de fase.
Passo 4
Agora, vamos analisar os pólos:
Dois pólos em s = -2:
- Magnitude: Cada pólo contribui com uma diminuição de 20 dB/decade a partir da frequência do pólo ($ \omega = 2 $ rad/s). Como temos dois pólos em $ s = -2 $, a inclinação total será de -40 dB/decade a partir dessa frequência.
- Fase: Cada pólo adiciona -45 graus de fase, então dois pólos juntos adicionam -90 graus.
Um pólo em s = -1:
- Magnitude: Este pólo vai contribuir com uma diminuição de 20 dB/decade a partir de $ \omega = 1 $ rad/s.
- Fase: Adiciona -45 graus de fase.
Passo 5
Agora que entendemos a contribuição individual de cada termo, vamos combinar tudo para traçar o diagrama de Bode.
Magnitude:
- A partir de $ \omega = 0 $, a magnitude começa aumentando devido ao zero em $ s = 0 $ com 20 dB/decade.
- Em $ \omega = 1 $ rad/s, o pólo em $ s = -1 $ começa a diminuir a magnitude em 20 dB/decade.
- Em $ \omega = 2 $ rad/s, os dois pólos em $ s = -2 $ começam a diminuir a magnitude em mais 40 dB/decade (totalizando -60 dB/decade a partir dessa frequência).
Fase:
- O zero em $ s = 0 $ adiciona +90 graus.
- O pólo em $ s = -1 $ adiciona -45 graus gradualmente a partir de $ \omega = 1 $ rad/s.
- Os dois pólos em $ s = -2 $ adicionam -90 graus (cada um -45 graus) gradualmente a partir de $ \omega = 2 $ rad/s.
- A fase total será a soma dessas contribuições.
Passo 6
Finalmente, vamos combinar todas essas informações para desenhar o diagrama de Bode:
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Desenho da Magnitude:
- Comece com uma reta de +20 dB/decade a partir de $ \omega = 0 $.
- Em $ \omega = 1 $ rad/s, mude a inclinação para 0 dB/decade (porque a diminuição de 20 dB/decade compensa o aumento inicial de 20 dB/decade).
- Em $ \omega = 2 $ rad/s, a inclinação muda para -60 dB/decade (pois os dois pólos adicionam -40 dB/decade à inclinação anterior de -20 dB/decade).
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Desenho da Fase:
- Comece com +90 graus devido ao zero.
- A partir de $ \omega = 1 $ rad/s, comece a diminuir a fase em -45 graus.
- A partir de $ \omega = 2 $ rad/s, continue diminuindo a fase em mais -90 graus (totalizando -45 + (-90) = -135 graus).
Resposta
Após seguir os passos acima, o diagrama de Bode para a função de transferência $ K(s) = \frac{s}{(s+2)^2(s+1)} $ apresenta uma magnitude que inicialmente aumenta a 20 dB/decade, plana em 1 rad/s, e então decresce a -60 dB/decade a partir de 2 rad/s. A fase inicia em +90 graus, diminui para -45 graus a partir de 1 rad/s, e alcança -135 graus a partir de 2 rad/s. Esse comportamento reflete a influência do zero e dos pólos no sistema.