Determine os valores inicial e final da função H(s), cuja transformada de Laplace é:
H(s)=20(s+3)(s^2+8 s+25)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores inicial e final da função $ H(s) $, usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos utilizar os teoremas de valor inicial e valor final da transformada de Laplace. Esses teoremas nos ajudam a determinar o comportamento de uma função no instante inicial (quando $ t $ se aproxima de 0) e no instante final (quando $ t $ tende ao infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor inicial da função $ h(t) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Inicial, que diz:
h(t)
Vamos calcular esse limite:
limt to 0 h(t) = lims to infty s cdot H(s)
Agora, avaliando o limite quando $ s $ tende ao infinito:
s cdot H(s) = s cdot 20(s + 3)(s^2 + 8s + 25)
Observamos que o grau do denominador é maior que o do numerador (3 > 1), então o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor final da função $ h(t) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Final, que diz:
h(t)
Vamos calcular esse limite:
limt to infty h(t) = lims to 0 s cdot H(s)
Avaliando o limite quando $ s $ tende a zero:
s cdot H(s) = s cdot 20(s + 3)(s^2 + 8s + 25)
Antes de aplicar o Teorema do Valor Final, é importante verificar se todas as raízes do denominador de $ H(s) $ têm partes reais negativas, o que garante que o limite existe e é seguro aplicar o teorema. No nosso caso, todas as raízes são $ s = -3 $ e $ s = -4 \pm 3j $, que têm partes reais negativas, então estamos tranquilos para usar o teorema.

Resposta

O valor inicial da função $ h(t) $ é 0 e o valor final também é 0.

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