Determine os valores inicial e final da função
, cuja transformada de Laplace é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores inicial e final da função $ H(s) $, usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos utilizar os teoremas de valor inicial e valor final da transformada de Laplace. Esses teoremas nos ajudam a determinar o comportamento de uma função no instante inicial (quando $ t $ se aproxima de 0) e no instante final (quando $ t $ tende ao infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor inicial da função $ h(t) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Inicial, que diz:
Vamos calcular esse limite:
Agora, avaliando o limite quando $ s $ tende ao infinito:
Observamos que o grau do denominador é maior que o do numerador (3 > 1), então o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor final da função $ h(t) $. Para isso, usamos o Teorema do Valor Final, que diz:
Vamos calcular esse limite:
Avaliando o limite quando $ s $ tende a zero:
Antes de aplicar o Teorema do Valor Final, é importante verificar se todas as raízes do denominador de $ H(s) $ têm partes reais negativas, o que garante que o limite existe e é seguro aplicar o teorema. No nosso caso, todas as raízes são $ s = -3 $ e $ s = -4 \pm 3j $, que têm partes reais negativas, então estamos tranquilos para usar o teorema.
Resposta
O valor inicial da função $ h(t) $ é 0 e o valor final também é 0.