Use o MATLAB ou equivale para representar graficamente a amplitude e a fase das funções de transferências:
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para representar graficamente a amplitude e a fase da função de transferência $ X(s) = \frac{25}{s^{2} + 4s + 25} $, onde $ s = j\omega $. A gente vai usar conceitos de funções de transferência e frequência, e vai precisar usar o MATLAB (ou um programa equivalente) para plotar os gráficos de amplitude e fase dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de transferência. Ela relaciona a saída de um sistema com a entrada no domínio da frequência. Nesse caso, temos $ X(s) = \frac{25}{s^{2} + 4s + 25} $. Para analisar a resposta em frequência, substituímos $ s $ por $ j\omega $, onde $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 3
Substituindo $ s = j\omega $ na função de transferência, ficamos com:
Agora, para encontrar a amplitude e a fase, precisamos separar a parte real e a parte imaginária do denominador.
Passo 4
Vamos reescrever o denominador:
A amplitude de $ X(j\omega) $ é dada pelo módulo dessa expressão:
E a fase é o argumento:
Passo 5
Agora, vamos implementar isso no MATLAB. Primeiro, definimos um vetor de frequências $ \omega $ que vamos analisar. Depois, calculamos a amplitude e a fase usando as fórmulas que derivamos. Finalmente, plotamos os gráficos.
Passo 6
Aqui está o código MATLAB que faz isso:
% Define o vetor de frequências
omega = linspace(0, 20, 1000); % Frequências de 0 a 20 rad/s
% Calcula o denominador
denominador = (25 - omega.^2) + 1j*4.*omega;
% Calcula X(jω)
X_jw = 25 ./ denominador;
% Calcula a amplitude
amplitude = abs(X_jw);
% Calcula a fase em graus
fase = angle(X_jw) * (180/pi);
% Plota a amplitude
figure;
plot(omega, amplitude);
title('Resposta em Amplitude');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('|X(j\omega)|');
grid on;
% Plota a fase
figure;
plot(omega, fase);
title('Resposta em Fase');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('Fase (graus)');
grid on;
Resposta
Seguindo os passos acima, ao executar o código no MATLAB, você obterá dois gráficos: um mostrando a resposta em amplitude e outro mostrando a resposta em fase da função de transferência $ X(s) $. Esses gráficos ajudam a visualizar como o sistema responde a diferentes frequências.